Tagged: transenden

Misteri Imanensi Bilangan Transenden: suatu refleksi posisi diri di hadapan Sang Transenden

Untuk memulai diskusi, ada baiknya penulis menjelaskan makna judul artikel ini agar pembaca dapat menangkap kesan paradoks yang muncul dalam judul tersebut. Sesuatu yang transenden berarti bahwa sesuatu tersebut eksis namun berada sangat jauh dari kesadaran realitas sehari-hari. Sementara itu, suatu yang imanen berarti kita memiliki akses yang sangat mudah untuk bertemu dengan hal tersebut. Sebagai contoh kecil, kita dapat mengatakan cincin es Saturnus bersifat transenden, sementara es batu dalam kulkas rumah kita bersifat imanen. Berdasarkan kedua definisi singkat ini, dapat kita tangkap bahwa jika suatu hal transenden, maka ia tidak seharusnya imanen; demikian pula sebaliknya. Dengan demikian, jika suatu bilangan yang dikatakan transenden, ternyata memiliki imanensi, maka fenomena ini adalah suatu misteri yang sangat menarik. Apa maksudnya suatu bilangan begitu jauh namun juga sekaligus begitu dekat?

Pertama-tama, kita akan melihat beberapa klasifikasi bilangan. Dalam artikel ini, penulis tidak mendefinisikan bilangan nyata (real numbers) dan mengasumsikan pembaca memiliki ide dasar mengenai hal ini. Salah satu himpunan bilangan yang paling elementer adalah bilangan bulat, yaitu bilangan yang tidak memuat pecahan, dinotasikan

\mathbb{Z} =\{ 0, \pm 1, \pm 2, \dots \}.

Selanjutnya, kita definisikan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat, dinotasikan

\mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} : p,q\in \mathbb{Z}; q\neq 0\}

Bilangan nyata yang bukan merupakan bilangan rasional disebut bilangan irasional. Sebagai contoh, bilangan 0.125 merupakan bilangan rasional karena 0.125 = 1/8. Sementara itu \sqrt{2} merupakan bilangan irasional (bukti pernyataan ini adalah contoh yang sangat populer untuk metode pembuktian dengan kontradiksi; sebagai referensi, lihat https://id.wikipedia.org/wiki/Pembuktian_melalui_kontradiksi).

Dalam artikel ini, kita akan membahas secara khusus tentang bilangan irasional. Dalam tulisan ini, kita membagi bilangan irasional menjadi 2 kelompok: bilangan aljabar dan bilangan transenden. Suatu bilangan irasional x dikatakan sebagai bilangan aljabar jika ada suatu polinom rasional (polinom dengan koefisien bilangan rasional) P(\cdot) sehingga P(x)=0. Sementara itu, bilangan irasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai akar dari suatu polinom disebut bilangan transenden. Sebagai contoh, \sqrt{2} adalah bilangan aljabar karena \sqrt{2} merupakan akar dari polinom rasional P(x)=x^2-2. Di sisi lain, konstanta \pi adalah bilangan transenden. Bukti bahwa \pi transenden tidak terlalu elementer, dan ini adalah implikasi dari dari sifat bilangan transenden. Dalam bagian selanjutnya kita akan melihat bahwa sedikit sekali pengetahuan kita tentang bilangan transenden.

Bilangan-bilangan yang bukan merupakan akar dari polinomial apapun disebut transenden karena beberapa alasan. Alasan teoretis adalah karena bilangan ini tidak dapat diaproksimasi perilakunya melalui suatu polinomial. Polinom merupakan salah satu alat yang dipakai matematikawan zaman Yunani kuno untuk menemukan suatu tipikal bilangan “jenis baru”, yaitu bilangan irasional. Bilangan bulat dan pecahan mungkin dapat dikenal secara umum karena ada banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang memunculkan bilangan-bilangan tersebut secara natural. Namun demikian, para matematikawan Yunani kuno memperhatikan bahwa mereka tidak pernah dapat mengukur panjang sisi miring segitiga sama kaki dengan panjang kaki 1 cm dengan akurat (dengan teorema pythagoras kita tahu bahwa sisi ini memiliki panjang \sqrt{2}, yang adalah bilangan irasional). Meskipun mereka mengaproksimasi panjang sisi tersebut dengan pecahan ataupun desimal yang sangat panjang, mereka mendapati bahwa aproksimasi tersebut tidak pernah benar-benar memenuhi bilangan yang dicari. Hal ini memimpin mereka menemukan fakta bahwa memang ada bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua buah bilangan bulat. Mencari akar suatu polinom menjadi suatu jalan untuk menemukan bilangan-bilangan “baru” yang tersembunyi, yang jarang muncul dalam dunia keseharian. Namun seiring perkembangan matematika modern, para matematikawan kembali menemukan bahwa ada bilangan-bilangan irasional tertentu yang lebih “jauh” dibanding dengan bilangan irasional yang lain, yaitu bilangan transenden. Meskipun dengan metode polinom, matematikawan sanggup menemukan jenis bilangan baru di zaman itu, rupanya masih ada bilangan yang belum terjamah di antaranya!

Alasan lain yang lebih realistis, adalah bahwa hanya ada sedikit sekali pengetahuan umat manusia yang terkumpul selama berabad-abad mengenai bilangan ini. Tidak lebih dari 20 kelas bilangan yang sejauh ini berhasil dikonfirmasi sebagai bilangan transenden. Ada banyak bilangan yang dipercaya sebagai bilangan transenden, namun tidak pernah ada yang dapat memberi bukti formal mengenai hal tersebut (matematikawan tidak pernah menemukan suatu polinomial yang mengaproksimasi bilangan tersebut; namun belum dapat membuktikan bahwa memang tidak mungkin ada polinom yang seperti demikian). Sebagai referensi, pembaca dapat meninjau https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number#Numbers_proven_to_be_transcendental . Fakta bahwa puluhan ribu matematikawan dari segala abad menemukan kebuntuan untuk memahami perilaku bilangan ini, menjadi alasan utama mengapa bilangan transenden begitu jauh dari kehidupan kita sehari-hari. Begitu jauhnya pemahaman umat manusia akan hal ini hingga beberapa matematikawan eksentrik memutuskan untuk tidak mempercayai eksistensi bilangan ini, dan bahkan menuduh bahwa bilangan nyata sebetulnya hanyalah ilusi.

Namun demikian, bilangan yang pemahamannya begitu melampaui pengertian kita ini sebetulnya ada banyak sekali di sepanjang garis bilangan, bahkan lebih banyak dan melimpah dibanding bilangan aljabar! Inilah yang penulis maksudkan dengan imanensi bilangan transenden.

Untuk memahami fenomena ini, kita akan melihat beberapa pengertian mengenai bagaimana kita mengukur suatu himpunan memiliki anggota yang lebih banyak dibanding himpunan lain. Sebagai contoh, dengan mudah kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan bilangan bulat positif kurang dari satu milyar memiliki anggota lebih sedikit dibanding himpunan semua bilangan bulat positif. Namun apa yang dapat kita katakan tentang himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan genap? Mana yang lebih banyak? Secara intuitif mungkin kita dapat katakan sama banyak. Lalu mana yang lebih banyak, himpunan bilangan prima atau himpunan bilangan bulat kelipatan 5? Bagaimana kita membandingkannya?

Dalam teori himpunan, kardinalitas suatu himpunan A , dinotasikan |A| menyatakan ukuran seberapa banyak anggota himpunan tersebut. Dua buah himpunan A dan B dikatakan berkardinalitas sama, yaitu |A|=|B|, jika kita dapat memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B dan tidak ada anggota B yang tidak punya pasangan. Sebagai contoh, misal A dan B secara berturut-turut menyatakan himpunan bilangan bulat positif dan bilangan genap. Maka untuk setiap bilangan positif a\in A, kita dapat memasangkan a dengan 2a, yang merupakan anggota B. Selain itu jika kita ambil sebarangan bilangan genap b\in B, dengan cepat kita tahu bahwa b/2 pasti bilangan bulat positif di A yang dipasangkan dengan b. Artinya, himpunan bilangan bulat positif berkadinalitas sama dengan himpunan bilangan genap, atau dengan kata lain, banyaknya bilangan genap sama dengan banyaknya bilangan bulat positif. Secara sekilas, argumen ini memang counter-intuitive, namun inilah kenyataannya. Banyak hal aneh dan lucu terjadi saat kita melibatkan ketakberhinggan dalam bermatematika.

Pertanyaan selanjutnya: manakah yang lebih banyak, bilangan bulat atau bilangan rasional? Georg Cantor, seorang matematikawan Jerman abad 19, membuktikan bahwa bilangan bulat sama banyaknya dengan bilangan rasional. Argumen yang mendasari hal ini adalah argumen diagonalisasi Cantor yang sangat terkenal. Kita dapat memasangkan bilangan bulat secara berurutan dari 1 dan seterusnya dengan bilangan-bilangan rasional dengan cara mengikuti arah anak panah sebagaimana tertera pada gambar di bawah.

sv74l75a

Hal ini merupakan sesuatu yang mengejutkan! Seharusnya bilangan rasional jauh lebih banyak dibanding bilangan bulat, karena bahkan di antara dua bilangan bulat saja, ada tak berhingga banyaknya bilangan rasional pecahan di antaranya. Bagaimana mungkin keduanya memiliki kardinalitas yang sama? Inilah keindahan dan keagungan matematika. Untuk penjelasan lebih dalam, pembaca dapat melihat https://bermatematika.net/2016/06/20/paradoks-hotel-hilbert/. Untuk selanjutnya, semua himpunan yang berkardinalitas sama dengan bilangan bulat akan kita sebut sebagai himpunan tercacah (countable set).

Lebih lanjut lagi, Cantor juga membuktikan bahwa perkalian kartesian dari dua himpunan tercacah, juga merupakan himpunan tercacah. Lebih jauh lagi, perkalian kartesian dari sejumlah tercacah kumpulan himpunan tercacah juga masih merupakan himpunan tercacah. Fakta ini mengimplikasikan fakta bahwa himpunan semua bilangan aljabar adalah himpunan tercacah.

Namun demikian, Cantor memberi bukti bahwa bahwa himpunan bilangan nyata bukan himpunan tercacah. Bukti pernyataan ini cukup sederhana. Seandainya, bilangan nyata tercacah, maka kita dapat memasangkan semua bilangan bulat dengan tepat satu bilangan nyata dan semua bilangan nyata memiliki pasangan bilangan bulat. Misalkan k adalah bilangan bulat dan S_k merupakan bilangan nyata pasangannya. Kita akan melihat representasi desimal bagian pecahan S_k, misalkan S_k= 0.a_{k0}a_{k1}a_{k2}\dots. Lalu, definisikan bilangan nyata s=0.a_{11}a_{22}a_{33}\dots, yaitu bagian diagonal dari enumerasi representasi desimal bilangan nyata tersebut. Dengan mendefinisikan bilangan nyata lain r=0.b_{11}b_{22}b_{33}\dots dan memilih b_{ii}\neq a_{ii} untuk setiap i, kita dapat yakin bahwa tidak ada satupun bilangan bulat yang dipasangkan dengan r, suatu kontradiksi. Dengan demikian, himpunan bilangan nyata tidak tercacah.
annot2292bFakta ini sangat penting, karena ini menunjukkan bahwa bilangan nyata secara signifikan jauh lebih banyak dibanding bilangan bulat. Namun demikian, karena kita tahu bahwa bilangan aljabar juga tercacah, maka bilangan nyata jauh lebih banyak dibanding bilangan aljabar.

Fakta ini kemudian berakibat bahwa bilangan transenden haruslah jauh lebih banyak ketimbang bilangan aljabar. Mengapa demikian? Karena himpunan semua bilangan transenden tidak tercacah. Perhatikan bahwa gabungan dua himpunan tercacah haruslah tercacah pula. Seandainya bilangan transenden tercacah, maka himpunan bilangan irasional (yang adalah gabungan bilangan transenden dan bilangan aljabar) juga tercacah. Lalu, karena bilangan rasional tercacah, seharusnya bilangan real (yang adalah gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional) juga tercacah, suatu kontradiksi!

Fakta bahwa bilangan transendental begitu melimpah dan banyak sekali ditemukan di sepanjang garis bilangan nyata semakin membuat realitas mengenai sedikitnya bilangan transenden yang ditemukan sepanjang sejarah menjadi misteri yang semakin jaya. Ada tak berhingga banyaknya bilangan transenden. Meskipun ada tak berhingga banyaknya bilangan bulat, ketakberhinggaan banyaknya bilangan transenden memiliki derajat yang lebih besar lagi. Jika kita tidak dapat bayangkan bagaimana ujung dari pencacahan bilangan bulat, dapatkah kita bayangkan bagaimana cara untuk mencacah bilangan transenden? Namun demikian, tidak sampai 20 keluarga bilangan yang terkonfirmasi merupakan bilangan transendental di sepanjang basis data pengetahuan peradaban manusia sepanjang sejarah! Di manakah jutaan, atau milyaran, atau apalah itu bilangan transenden yang lain? Kita tidak tahu! Dapatkah kita membayangkan seberapa tersembunyinya bilangan-bilangan itu dalam pengertian kita? Yang kita ketahui hanyalah ada banyak sekali bilangan transenden, namun kita tidak pernah benar-benar tahu yang mana sajakah bilangan itu.

Secara teoretis, jika kita mengambil sembarang bilangan nyata secara murni acak, maka dengan peluang nyaris mendekati 100%, kita akan dapatkan sebuah bilangan transenden. Namun betulkah demikian? Secara realitas, tanyakan kepada sembarang orang yang lewat agar mereka menyebut suatu bilangan nyata secara acak. Dengan peluang nyaris mendekati 0% orang tersebut menyebut suatu bilangan transenden. Bagaimana mungkin ini terjadi? Karena pengetahuan manusia tentang bilangan begitu sempit dan kecil. Beribu-ribu tahun umat manusia berestafet mengejar ujung ilmu pengetahuan, namun hasil penyelidikan manusia begitu memutuskan harapan. Sejak zaman prasejarah, manusia sudah mengenal bilangan, namun setelah ribuan tahun, pengetahuan kita tentang bilangan hanya bertambah sekitar 0% dari semua bilangan yang sebetulnya sudah eksis sejak kekekalan. (proporsi kardinalitas himpunan tercacah dibanding kardinalitas himpunan tidak tercacah, jika dihitung dengan teori ukuran, adalah betul-betul nol)

Inilah imanensi bilangan transenden! Bilangan transenden begitu berlimpah-limpah. Jika kita mengukur lebar suatu pita, kemungkinan besar kita akan mendapati bilangan transenden tanpa sebenarnya kita mengenal seperti apakah bilangan itu. Jika kita mengukur volume pewangi ruangan, hampir pasti volume cairan itu adalah bilangan transenden yang kita kira adalah bilangan bulat. Bilangan transenden ada di mana-mana! Mereka mengepung kita. Kita melihat mereka setiap hari namun bahkan tidak pernah sadar bahwa mereka ada. Bagaimana mungkin? Inilah misteri imanensi yang transenden. Inilah mengagumkannya transendensi yang imanen.

Tidak perlu kita melancong ke antariksa sejauh jutaan tahun cahaya untuk menyadari seberapa kecil kita di tengah raksasa transendensi yang menenggelamkan kita. Bahkan di tengah pengetahuan paling mendasar dalam benak kita, tersimpan misteri besar yang tidak pernah kita pedulikan. Maka benarlah perkataan Sokrates yang mengatakan bahwa bijaksana tertinggi adalah menyadari diri tidak mengerti apapun. Jika Anda masih merasa bahwa Andalah pusat semesta, Anda betul-betul belum keluar dari tempurung Anda. Kita jelas bukan pusat dari semesta ini. Namun ketika kita beroleh hidup dan pengertian, bukankah ini keajaiban yang lain? Selayaknya kah kita yang begitu tak berarti di tengah samuderan transendesi menerima pengertian? Kekuatan macam manakah yang memampukan kita sejauh ini?

Advertisements