Tagged: mathematics

What on Earth are Mathematicians’ Works Good For?

Saya sudah terlalu sering mendengar pertanyaan semua orang, “Oh kamu belajar matematika? Wah kamu mau jadi apa?” sampai saya hampir selalu dapat membedakan pertanyaan mana yang benar-benar tulus yang dilandasi rasa ingin tahu, atau pertanyaan mana yang hanya bertujuan untuk menghina. Namun demikian, pertanyaan ini ternyata memang pertanyaan yang sangat esensial untuk perlu dipertanyakan seseorang yang menyebut diri sebagai seorang matematikawan. Apa artinya menjadi seorang matematikawan? Kontribusi apa yang dapat diberikan seorang matematikawan pada masyarakat? Seberapa pentingkah posisi matematikawan dalam suatu struktur masyarakat? Tentu ini adalah pertanyaan yang sangat penting untuk dijawab, karena tanpa perenungan yang serius atas pertanyaan ini, seseorang berhak mengklaim bahwa keberadaan matematikawan menjadi tidak berarti di dunia ini. Kecuali diskusi mengenai hal ini terjawab secara tuntas, seorang matematikawan sebetulnya sedang berada dalam sebuah krisis identitas yang sangat serius.

Tentu sebagian besar orang pada zaman sekarang harus mengakui bahwa matematika adalah suatu entitas yang fundamental dan menjadi pusat dalam sejarah peradaban manusia. Melalui matematika, manusia dapat menafsirkan alam semesta. Melalui matematika, manusia dapat merekayasa suatu sistem. Melalui matematika, manusia menemukan cara untuk kehidupan yang lebih baik. Namun betulkah semua dampak yang sedemikian besar ini diberikan oleh para matematikawan? Saya meragukannya. Saya lebih percaya bahwa orang-orang yang terlibat dalam perkembangan peradaban kemanusiaan ini lebih cocok disebut sebagai para saintis atau ilmuwan. Lalu apa yang dikerjakan para matematikawan? Jika Anda berdiskusi mengenai hal ini pada seorang matematikawan, mungkin dia akan menjawab bahwa matematika tidak sesempit dan sekecil itu. Peran matematika tidak hanya sesempit memberi kerangka berpikir ilmiah yang memimpin penelitian seorang fisikawan pada penemuan besar tentang hukum alam. Itu hanya ‘kulit’ dari matematika saja dan dampak yang dirasakan si fisikawan tersebut itu hanyalah ‘bonus’nya saja. Inti dari matematika jelas lebih besar dan lebih agung daripada hanya sekedar ‘alat’ penelitian.

Jika memang esensi matematika jauh melampaui ekspektasi sebagian besar orang di dunia ini, lalu seperti apakah esensi agung dan besar yang disaksikan oleh para matematikawan itu? Ironisnya, jawaban terbaik yang mungkin dapat diberikan seorang matematikawan hanyalah sebuah ‘tidak tahu’. Sampai saat ini, tidak ada deskripsi mengenai matematika yang cukup memuaskan untuk disepakati semua kalangan. Agaknya, semakin seseorang bergelut dengan matematika, semakin banyak dia tahu bahwa ada terlalu banyak yang dia tidak tahu tentangnya. Tapi seorang matematikawan tahu suatu hal, yaitu bahwa matematika itu penuh keindahan. Ketika Paul Erdos, salah seorang matematikawan legendaris di abad keduapuluh, mengomentari bukti sebuah teorema yang menurutnya sangat cantik, dia berkata bahwa bukti tersebut berasa dari ‘The Book’, suatu metafora yang menggambarkan sebuah entitas penuh keindahan yang mungkin sebetulnya tidak pernah diketahui secara penuh oleh seluruh matematikawan di sepanjang sejarah. Namun demikian, sekali lagi mereka semua sepakat mengenai satu hal: bahwa keindahan itu ada.

Sampai sejauh ini kita bisa sepakat bahwa walaupun matematika memiliki potensi untuk memberi dampak besar bagi perkembangan peradaban manusia (baca: penerapan matematika di dunia sehari-hari), terkadang seorang matematikawan tidak terlalu mempedulikan hal itu. Bahkan tidak jarang seorang matematikawan dengan sengaja mengabaikan aplikasi matematika dan membiarkan dirinya tenggelam dalam keterpesonaannya atas keindahan matematika yang baru saja ia temukan melalui sebuah eksplorasi yang sangat rumit. Penemuan bahwa konsep pewarnaan graf dapat bermanfaat untuk metode penjadwalan terkadang menjadi tidak lebih penting dari penemuan bahwa selalu terdapat graf dengan bilangan kromatik dan siklus terkecil (girth) sebesar apapun yang kita mau. Penemuan pertama jelas memberi manfaat yang besar bagi dunia, sementara penemuan kedua tidak terlihat dapat memberi manfaat yang cukup jelas. Namun demikian, penemuan yang pertama terkadang tidak lebih dirayakan oleh para komunitas matematikawan dibanding penemuan yang kedua. Mengapa? Karena gagasan yang diberikan pada setiap penemuan memiliki keindahan yang hanya dapat dilihat oleh para matematikawan. Dan ketika keindahan tersebut (dalam batas tertentu) seringkali lebih dirayakan dibanding penemuan lain yang memberi manfaat, itu berarti bahwa keindahan tersebut begitu penting bagi peradaban umat manusia.

Dalam hal ini, sepertinya para matematikawan tidak sendirian. Tidak jarang pula kita mendengar para seniman diremehkan dan diragukan perannya dalam masyarakat. Memangnya kita bisa kenyang dengan melukis? Memangnya dengan mengabah simfoni orkestra kamu bisa memberi perubahan pada masyarakat? Ada banyak orang kelaparan di luar sana dan jika hidupmu diberikan untuk membantu mereka, dunia dapat menjadi lebih baik daripada kau hanya mengurung diri di kamar untuk menghasilkan sajak-sajak yang tidak semua orang dapat mengapresiasinya. Proposisi yang diberikan dalam diskusi semacam ini sepertinya betul dan membuat profesi para seniman menjadi tidak bermakna. Namun kenyataannya dakwaan yang dilontarkan pada para seniman ini mungkin sama sekali tidak relevan bagi hidup mereka. Mengapa? Karena mereka tahu, apa yang mereka kerjakan memberikan keindahan yang sangat penting, jauh lebih penting dibanding segala pertimbangan yang ditawarkan oleh para pendakwa tersebut.

Mengapa seni penting? Mengapa keindahan penting bagi hidup manusia? Karena di titik inilah kita temukan perbedaan manusia dengan ciptaan lainnya. Tidak ada semut yang berhenti mengangkut gula dari dapur untuk terkesima ketika seorang anak perempuan memainkan Hungarian Rhapsody di ruang sebelah dapur. Tidak ada anjing yang berhenti berlari-lari untuk mengagumi keagungan arsitektur Basilika Santo Petrus yang hanya berjarak belasan meter darinya. Mengapa pekerjaan seniman penting? Karena mereka sedang mengapresiasi suatu entitas bernama ‘keindahan’ yang hanya dapat dilakukan oleh manusia.

Harus kita akui, memandangi lukisan Van Gogh secara langsung di Amsterdam merupakan pengalaman yang lebih berharga dibanding hanya melihat setumpuk sampah. Mendengarkan Simfoni no 9 Beethoven adalah aktivitas yang jauh lebih berharga dibanding hanya mendengarkan klakson mobil di perempatan jalan. Bahkan ketika kita harus membayar untuk melakukan kegiatan yang pertama dan dibayar untuk melakukan kegiatan kedua, kita jelas akan memilih kegiatan yang pertama. Mengapa? Karena kegiatan pertama memberikan keindahan bagi hidup kita. Memang betul, seseorang tidak bisa jadi kenyang dan menyekolahkan anaknya hanya dengan mengerjakan seni. Dan juga betul bahwa ada seorang yang bisa menjadi sangat sukses tanpa pernah hidupnya tersentuh oleh keindahan seni. Namun, seorang yang tersentuh oleh seni memperoleh kemanusiaan yang lebih penuh, dibanding orang yang tidak pernah mau menghargai seni, sesukses dan seterhormat apapun dia.

Kembali pada topik matematikawan. Sepertinya para matematikawan harus setuju bahwa pekerjaan mereka dalam porsi tertentu, persis sama dengan pekerjaan para seniman. Para seniman berkontribusi pada dunia dengan membawakan keindahan untuk dunia nikmati. Demikian pula seharusnya para matematikawan bekerja segiat mungkin untuk memamerkan keindahan matematika untuk dinikmati semua kalangan. Sama seperti seni, hanya manusia yang dapat membuat matematika berarti. Patung karya Bernini tidak akan berbeda dengan batu lainnya bagi kucing. Hanya manusia yang dapat mengerti bahwa patung tersebut bernilai jauh lebih tinggi dibanding seonggok batu biasa. Demikian pula dengan matematika. Tanpa ada pikiran manusia yang memahami signifikasi teorema fundamental aljabar, fakta bahwa setiap polinomial memiliki akar sebanyak derajatnya tidak akan pernah menjadi sesuatu yang dirayakan dan menjadi warisan pengetahuan yang sangat penting.

Oleh sebab itu, adalah penting untuk menumbuhkan kesadaran pada setiap orang bahwa keindahan yang matematika tawarkan dapat dinikmati selayaknya seseorang menikmati seni. Ketika seseorang disodorkan fakta bahwa operasi integral merupakan anti turunan (teorema dasar kalkulus), dia dapat menjadi terkejut dan meragukannya, karena secara sekilas sepertinya luas daerah di bawah kurva tidak ada hubungannya dengan kemiringan kurva tersebut. Namun ketika dia berhasil memahami bagaimana pemaparan logis premis-premis yang berinteraksi dalam bukti matematis teorema tersebut, dia dapat menjadi terpesona dan mengagumi keagungan gagasan tersebut. Pada titik inilah, seseorang dapat mengapresiasi matematika sebagaimana seorang pengamat seni membiarkan dirinya terpaku berjam-jam untuk mengagumi sebuah lukisan. Oleh sebab itu, mendidik seorang anak mengenai keindahan teorema pythagoras haruslah sama seperti mengajarkan bahwa Roman Siti Nurbaya merupakan sebuah karya sastra yang sangat baik yang dapat dinikmati sebagai warisan luhur kemanusiaan.

Jadi, apa peran matematikawan di dunia ini? Dunia jelas membutuhkan kehadiran para matematikawan untuk menyediakan akses bagi masyarakat mengenai keindahan ultimat gagasan-gagasan matematis. Apa yang membuat akses pada keindahan ini penting? Karena di titik inilah, salah satu aspek dari kemanusiaan yang penuh dapat dicapai. Walaupun matematika memberikan begitu banyak kemudahan bagi manusia untuk memahami fenomena alam, namun pada intinya, rupanya matematika tidak sedang berbicara mengenai alam. Matematika duduk dengan anggun di tahtanya yang tak terjamah oleh pikiran manusia. Dan ketika pemikiran seorang matematikawan berhasil menemukan keindahan dari ujung jubahnya, penemuan ini memberikan keindahan yang luar biasa besar bagi perjalanan akal budinya. Adalah tugas para matematikawan untuk membagikan keindahan ini pada setiap insan yang merindukan akal budinya dipelihara oleh keindahan.

Tepok Nyamuk (1) – How much would you suffer from the loss?

Matematika dalam bermain. Bermain dalam matematika.

Salah satu permainan kartu yang cukup populer di Indonesia adalah “Tepok Nyamuk”. Dalam permainan ini, setiap peserta dibagikan sejumlah kartu secara berimbang dalam keadaan tertutup. Setelah itu, salah seorang pemain akan membuka kartu teratas miliknya sambil berteriak “dua”, sementara pemain berikutnya melakukan hal yang sama dan meneriakkan “tiga”, dan seterusnya. Urutan angka yang diucapkan pemain dilakukan secara sirkuler sesuai urutan kartu remi, artinya setelah angka 10, pemain berikutnya akan mengucapkan “Jack”, “Queen”, “King”, “As” dan kemudian kembali lagi ke “dua”. Proses ini akan berhenti ketika nilai kartu yang dikeluarkan seorang pemain sama persis dengan nilai yang disebutkannya itu. Pada saat itu, setiap pemain harus secepat mungkin menepuk kartu tersebut dan pemain terakhir yang menepuk kalah dalam ronde itu, sehingga ia harus mengambil semua kartu yang sudah dikeluarkan sebelumnya untuk masuk ke dalam kartu di tangannya. Pemain pertama yang berhasil menghabiskan kartu di tangannya menjadi pemenang permainan ini.

Tentu permainan ini sangat menarik dan menantang, karena kita harus memusatkan konsentrasi dan kewaspadaan kita ketika kartu-kartu dikeluarkan. Jika kita terlalu lambat untuk menyadari kecocokan urutan yang disebut dan kartu yang dikeluarkan, maka bersiap-siaplah untuk menanggung beban kartu yang bisa jadi tambahan kartu tangan kita!

Namun demikian, di tengah keceriaan dan keseruan permainan ini, kita dapat membuat suatu pertanyaan strategis yang dapat membantu kita memahami inti permainan ini. Ketika kecocokan terjadi dan semua pemain menepuk kartu, kita mempunyai peluang untuk menjadi pemain yang kalah dalam tepukan itu. Jika kita kalah, maka banyak kartu di tangan akan bertambah. Jika tidak, maka tentu banyak kartu tangan kita akan lebih sedikit dari sebelum ronde dimulai (karena diambil si kalah). Nah, seandainya kita kalah dalam suatu ronde, kira-kira berapa perkiraan kartu yang akan kita terima? Tentu saja jawabannya bervariasi! Mungkin saja dalam sekali putaran, sudah terjadi kecocokan, sehingga kartu yang dikeluarkan hanya sedikit. Tapi mungkin juga kecocokan tidak juga terjadi walaupun kita sudah mengeluarkan semua kartu yang kita punya! Tentu saja ini adalah kejadian yang stokastik, namun kita akan berusaha menyelidiki berapa rata-rata kartu yang harus dikeluarkan dalam satu ronde sampai sebuah kecocokan terjadi. Let’s introduce the math!

[prerequisite untuk pemahaman penuh tentang model matematika di bawah hanyalah statistika dasar]

Untuk memperoleh hasil, kita dapat mendekati masalah ini dengan model yang lebih sederhana. Katakanlah kita ubah aturan permainan sehingga setiap pemain tidak memegang kartu di tangan, dan yang ada hanya sebuah deck kartu lengkap dalam keadaan tertutup. Dalam setiap giliran, pemain memilih satu kartu secara acak dan membukanya sambil menyebut sebuah nilai secara terurut. Ketika tidak terjadi kecocokan, maka pemain akan mengembalikan kartu tersebut ke dalam deck secara acak pula. Tentu ini metode bermain yang sangat tidak praktis dan tidak menyenangkan, namun dengan model ini, kita akan memperoleh suatu model matematika yang sangat indah! Tentu saja dengan metode ini, peluang seseorang menyebutkan urutan dan mengeluarkan kartu dengan cocok adalah 1 banding 13, karena terdapat 52 kartu dalam sebuah deck lengkap dan terdapat tepat empat kartu yang nilainya cocok dengan (berapapun) nilai yang disebutkan oleh sang pemain. Fakta inilah yang akan menjadi dasar perhitungan kita!

Sekarang, kita definisikan suatu peubah acak X, yang menyatakan banyak kartu yang perlu dikeluarkan sampai terjadi kecocokan. Seandainya X bernilai k, maka ini berarti bahwa k-1 kartu pertama yang dikeluarkan tidak sesuai dengan nilai urutan yang disebut para pemain, dan kartu ke-k harus menjadi kartu pertama yang nilainya cocok. Seperti yang telah kita bahas di atas, peluang sebuah kartu dikeluarkan dengan cocok adalah 1/13, maka peluang sebuah kartu dikeluarkan tidak cocok adalah 1-1/13=12/13. Dengan demikian, peluang kejadian X=k terjadi adalah sebesar \dfrac{12^{k-1}}{13^k}. Dengan demikian, kita peroleh X merupakan sebuah peubah acak berdistribusi geometrik dengan parameter p=\frac{1}{13} (referensi:http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution). Dan dengan mudah, kita dapat klaim bahwa rata-rata nilai X adalah sebesar \frac{1}{p}=13. (Prove this! It’s fun! Petunjuk: gunakan fungsi pembangkit peluang).

Dengan demikian, kita telah peroleh jawabannya! Ketika kita kalah dalam suatu ronde, maka rata-rata kartu yang akan kita terima adalah sebesar 13 kartu! Jumlah yang cukup banyak ya ternyata! Tentu saja dalam kenyataanya, nilai rata-rata yang akan kita peroleh mungkin sedikit berbeda karena model matematika yang kita pakai berbeda dengan kenyataannya, sehingga nilai inipun juga merupakan estimasi dari rata-rata yang sebenarnya. Namun demikian, saya cukup yakin bahwa nilai rata-rata ini cukup baik untuk memberika gambaran pada permainan yang sebenarnya. Well, sejujurnya saya belum pernah melakukan “test lab” dengan mencatat semua data kartu yang diterima si kalah dan merata-rata nilai tersebut. Jika ada seseorang yang bersedia melakukan itu dan memberitahu hasilnya ke saya untuk mencocokkan apakah benar hasil yang diperoleh memang betul dekat dengan 13, that would be great!

Pertanyaan berikutnya yang mungkin relevan, adalah berapa banyak ronde yang kita perlukan untuk menyelesaikan permainan ini? Seandainya ada 4 pemain, maka masing-masing pemain menerima 13 kartu tangan di awal. Karena dalam 1 ronde, si kalah harus menerima tambahan rata-rata sebanyak 13 kartu, maka kartu tangan pemain lain akan berkurang sekitar \frac{13}{4} kartu, atau sekitar 3 kartu. Dalam kasus terbaik, ketika ada seorang yang tidak pernah kalah sama sekali sepanjang permainan, dia akan menyelesaikan permainan itu dalam 4-5 ronde. Namun apakah nilai ini adalah nilai rata-rata banyak ronde yang diperlukan? Tentu saja tidak! Bagaimana kita menghitung nilai rata-rata ini secara rigorous? Tunggu postingan saya selanjutnya. 🙂

[Silakan coba-coba dulu kalo penasaran. Hint: Markov Chain]

How Many Purchasing do You Need to Gather All Collection of Gifts?

We often find interesting marketing strategy of some cereal manufacture, that is providing some “action figures” in the box wrap. Of course there are many collection of the figure gifts, and yet you can not confirm what kind of figure you will get whenever you buy a box until you purchase it and open the seal. Suppose there are 10 kinds of figure collection. If you are lucky enough, you may gather all of the collection in 10 purchasing in a row, or that means that you always get a different collection every time you buy a cereal! What a lovely event! However, you may also experience some frustrating moment where you have gather 9 collections and you never get the 10th, although you have purchased a numerous cereals (and unfortunately, the cereal is never get eaten!). You buy a cereal and you think that this time you must get the 10th one, but that is not happening! Damn! The company is cheating me! How many more I should buy to get the 10th one? Does that 10-different-gifts-in-row event that rare? Can I be that lucky one?

These questions give us a very interesting mathematical problem, namely coupon collector problem. Suppose there are d collection of figure. How many purchasing do you expect to collect all the d collection? In the calculation of the expectation, we may find many interesting combinatorial properties involving in the progress. OK, let us start!

First, we define a sequence of event \{A_n\}_1^\infty for each n, A_n represent an event of in the n-th purchasing, for the first time you gather every d collections. Let p_n be the probability of the event A_n, which is p_n=P(A_n). Well, the event A_n is completely the event you really want to experience. Clearly that if we have the event A_n, then the number of purchasing we need is n. It would be very nice if n is as small as possible. However, we are about to calculate for which value of n in which most likely everybody experience the event A_n? By the basic statistics, we have the expectation of the number of purchasing needed to collect all the collection is \mu=\sum\limits_{n\geq 1} np_n.

Next, how would we calculate the value of p_n? To begin this, we introduce the notion \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}, which denote the Stirling number of the second kind.

\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = number of partitions of \{1,2,\dots, n,\} into exactly k class.

For example, if n=4 and k=2, then we are about to collect every possible partitions of \{1,2,3,4\} into exactly 2 class. Below is the lists of every possible partitions:

\{ \{1,2\}, \{3,4\} \}

\{ \{1,3\}, \{2,4\} \}

\{ \{1,4\}, \{2,3\} \}

This means that \begin{Bmatrix} 4 \\ 2 \end{Bmatrix}=3. Note that the order of the classes in the partition is not considered significant. Well, now we are ready to calculate the value of p_n.

The sample space of the event in this context is the set of all possible outcomes in the sequence of n purchasing. For every purchase, we have d possibilities of outcomes. Therefore the size of the sample space is d^n. Now we move into how many possible outcomes in which the event A_n happen. Suppose we have the event A_n occurred, means that when you purchase the n-th cereal, for the first time, you get the last collection (one thing you’d die for) which you have not owned yet before. Surely this must be the very condition, right? So, we can partition the times of purchasing, \{1,\dots,n\}, into exactly d classes, which means that if k belongs to the class j, then in the purchasing of k, you got the collection number j. Of course you can not have a class of size zero, since you have to gather every collection in the n purchasing. And also, n must be in a class having no other else in that class, i.e \{n\} must be a single class. This means, we should not worry about the class of n, since it always to be solitary. However, we still deal with those n-1 purchasing before the last one over the d-1 choices of collectibles. So in order to produce the partition, we have \begin{Bmatrix} n-1 \\ d-1 \end{Bmatrix} types of partitions. Moreover, since the order of the partition is such a matter for us, we multiply again this number to d!, as we have d classes in the partition.

Therefore, p_n=\dfrac{d!\begin{Bmatrix} n-1 \\ d-1 \end{Bmatrix}}{d^n}

However, how would we calculate the mean of number of purchasing? First we define a probability generating function of p_n, which is

P(x)=\sum\limits_{n\geq 1} p_n x^n

By some combinatorial analysis, (I wouldn’t talk about this in this post, maybe later :D), we can get the formula of the GF:

P(x)=\dfrac{x^d(d-1)!}{(x-d)(x-2d)\dots (x-(d-1)d)}

However, we can compute the expectation by \mu=P'(1). Therefore, by differentiating the generating function, we can get

\mu =d H_d where H_d is the harmonic number H_d=1+\frac{1}{2}+\dots + \frac{1}{d} and therefore the average number of purchasing so that you can collect every d collectibles is d\left(1+\frac{1}{2}+\dots + \frac{1}{d}\right). (You could check by yourself if you want!) Seems not friendly enough to understand? Okay, let say d=10. Then the average number is 10(1+1/2+1/3+…+1/10)=29.2897. This means most people complete the collections after the 29th purchasing. So, if you have bought 20 boxes, and you still have 7 collection, that’s fine. Everybody experience the same, you should ‘try’ harder! So, hey, what if the number of collectibles is not 10? Yes, you can compute the expected number by yourself. It’s easy enough to do naive computation by calculator. So, are you hunting for those gifts? You’d better check your lucky number!

Have fun with mathematics! Good luck!

 

 

Reference: Wilf, Herbert S. Generatingfunctionology. Academic Press. 1994

MCF – MMC ITB 2014

Mathematical Challenge Festival (MCF) Institut Teknologi Bandung merupakan acara dwitahunan yang diselenggarakan oleh Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) ITB sejak tahun 2002. Dalam perkembangannya, MCF ITB telah diadakan sebanyak lima kali. 

MCF ITB merupakan suatu ajang dimana seluruh siswa – siswi SMA dari seluruh Indonesia bersama-sama merayakan matematika sebagai ilmu dasar yang mewarnai kehidupan mereka. Pada acara ini, setiap peserta MCF diberi kesempatan untuk menikmati matematika bersama-sama, dalam suatu rangkaian acara yang koheren. 

 

Mathematics Modeling Competition (MMC) Institut Teknologi Bandung merupakan program kerja perdana yang dirilisoleh FMIPA ITB, Kelompok Keahlian Matematika Industri dan Keuangan (KK MIK). Acara ini merupakan suatu kontes pemodelan matematika pertama di Indonesia yang dibuka untuk tingkat mahasiswa. Bersamaan dengan MCF ITB, melalui acara ini diharapkan setiap peserta mahasiswa juga bersama – sama merayakan matematika dalam suatu ajang pemodelan matematika.

 

Di sini, akan ada Kompetisi Pemodelan Matematika tingkat Siswa dan juga Mahasiswa. Untuk tingkat Mahasiswa, ini merupakan kompetisi pemodelan matematika PERTAMA di Indonesia!

Sign up now! http://www.math.itb.ac.id/mcf-mmc Pendaftaran terbatas! 

#IndonesiaBermatematika

Nothing Contains Everything: My Tiny Thought about Russel’s Paradox

Indonesian. 😀

Posting ini akan membahas suatu fakta matematis, yang pertama kali diperkenalkan oleh salah satu Bapak “Modern Set Theory”, Bertrand Russel. Bagi saya, fakta ini sangat mencengangkan; bahkan di luar akal sehat saya. Sangat menarik, dan membuat saya berpikir bahwa memang tidak pernah ada science yang pernah cukup rigorous dan detail untuk menjelaskan bagaimana alam bekerja. Memang perkembangan science dunia selalu berkembang, namun tingkat perkembangannya tidak pernah mencapai kesempurnaan, seperti grafik asimpotik; kita sudah sangat dekat dengan kesempurnaan, namun tidak pernah mencapainya. Bukan stagnan, tapi converge. Pembahasan ini saya ambilkan dari sebuah buku yang sangat baik, “Naive Set Theory”, karangan Paul R. Halmos; salah satu matematikawan yang paling berpengaruh di abad 20. A very recommended book. Yah, siapalah saya, saya hanya ingin membagikan what do I feel about this paradox. Hopefully, you may enjoy every single words of my writing. 🙂

Well, secara sekilas, fakta ini mengatakan bahwa tidak ada himpunan yang memuat semua himpunan; tidak dengan pengertian himpunan yang kita kenal dalam matematika sehari-hari. Karena jika seandainya ada, maka himpunan ini akan menemui kontradiksi dengan definisinya sendiri. How can it be? Baiklah, pertama-tama, I’ll present you one of the major principle of set theory. Prinsip ini terkenal dengan nama Aussonderungaxiom, atau dalam bahasa Indonesia, Aksioma spesifikasi. Prinsip ini berbunyi demikian:

Untuk sembarang himpunan A dan kondisi S(x) selalu terdapat sebuah himpunan B sedemikian sehingga setiap anggotanya merupakan anggota A dan memenuhi kondisi S(x).

Ah, aksioma yang terlalu trivial! Yah, saya yakin kita semua akan dengan cepat setuju dengan peryataan di atas. Ya memang begitu kan? Yes, That’s why we called it major principle. Penerapan aksioma di atas sesederhana penggunaan konsep himpunan dalam matematika sehari-hari. Bahkan anak-anak SD pun menggunakan aksioma ini tanpa halangan yang berarti. Sangat sederhana! Misalkan A merupakan himpunan semua wanita di dunia, dan S(x) adalah kondisi di mana x merupakan mahasiwa matematika. Berdasarkan dua hal di atas, kita dapat “memilah-milah” anggota himpunan A yang juga memiliki kondisi S(x), dan selanjutnya jika kita himpun semuanya, kita akan dapatkan himpunan B=\{ x\in A:S(x)\} =\{ x\in A:x mahasiswa matematika \} yang memenuhi sifat seperti yang dikemukanan pada aksioma di atas. Dengan demikian B merupakan himpunan semua mahasiswa matematika wanita.

Mudah! Namun mari kita lihat, jika kita pilih kondisinya S(x) sebagai berikut: “x\notin x“. Sebelum kita lanjut, ada baiknya supaya kita dapat membedakan notasi “\in” dengan “\subset“. Notasi yang pertama menunjukkan notasi keanggotaan, sementara yang terakhir merujuk pada keterhimpunan. (Detail mengenai 2 relasi ini dapat dicari di Google :p). Oke, lalu ambillah sembarang himpunan A. Berdasar aksioma di atas, kita dapat definisikan himpunan B=\{ x\in A:x\notin x\}. Well, per definisi kita tahu bahwa B\subseteq A. Tapi, pertanyaan yang mungkin menarik adalah, dapatkah kita menyimpulkan bahwa B\in A? Jawabannya adalah TIDAK. Pernyataan tersebut adalah SALAH.

Mengapa demikian? Andaikan pernyataan tersebut benar, yaitu B\in A. Maka dengan mempertimbangkan B sebagai subhimpunan A, kita memiliki dua pilihan, yaitu B\in B atau B\notin B. Oke kita bahas satu-satu. Pilihan pertama tidaklah mungkin. Karena jika B\in B, maka berdasar definisi B=\{ x\in A:x\notin x\}, haruslah B\notin B dan ini kontradiksi. Selanjutnya kita tinjau pilihan kedua. Jika B\notin B benar, maka per definisi B=\{ x\in A:x\notin x\}, B memenuhi syarat keanggotaan B sendiri, dan dengan demikian B\in B. Kontradiksi lagi. Karena itu kesimpulannya, haruslah B\notin A. (Paragraf ini mungkin paragraf yang paling sulit dipahami; saya sarankan Anda membaca paragraf ini berulang kali sebelum akhirnya Anda melanjutkan ke paragraf berikutnya)

Oke, perhatikan bahwa proses tersebut terjadi untuk sembarang himpunan. Jadi dengan demikian, untuk setiap himpunan, subhimpunannya yang dispesifikasi dengan kondisi S(x) tidak akan pernah menjadi anggota himpunan tersebut. Ini menunjukan bahwa untuk setiap himpunan A terdapat suatu himpunan B sehingga B\notin A. Dan dengan demikian, kita membuktikan bahwa tidak ada himpunan yang memuat semua himpunan. Bahkan kita dapat katakan bahwa tidak ada himpunan yang semua subhimpunannya merupakan anggota dari himpunan tersebut. (harap dapat dibedakan antara keterhimpunan dan keanggotaan) Dengan gayanya yang dramatis, Halmos mengungkapkan bahwa “Nothing contains Everything” –dengan tambahan dari saya pribadi- “,not in nowadays’ concept of set”.

Tidak masuk akal! Tidak ada himpunan yang memuat semua himpunan! Ini bertentangan dengan konsep himpunan yang selama ini saya pahami. Jika kita ingin membuat himpunan yang memuat semua himpunan, yah tinggal kumpulkan saja semua jenis himpunan yang ada di semesta ini. Kumpulan yang tadi sudah kita kumpulkan tentunya menjadi himpunan yang memuat semua himpunan. Namun himpunan yang memuat semua himpunan itu juga merupakan himpunan, apakah himpunan tersebut juga sudah termuat di dalamnya? Oh tidak! Proses ini berlangsung terus sampai kita bisa dibuatnya gila!

Jadi apa itu kumpulan semua himpunan? Tidak ada yang tahu. Saya percaya konsep itu ada, dan bukannya kontradiksi dengan pemikiran kita. Itulah sebabnya, fakta ini dinamakan Russel’s paradox; bukan Russel’s contradiction. Lalu bagaimana menjelaskan fenomena itu? Tidak ada yang tahu. Ini sama misteriusnya dengan pertanyaan “Dari mana asal manusia?”. Tidak untuk masa sekarang. Belum cukup instrumen yang dimiliki masyarakat sains untuk dapat mendefinisikan dengan rigorous fenomena ini. Haruslah ada definisi mengenai himpunan yang lebih besar, lebih kuat, lebih divine; untuk membantu umat manusia mendalami peristiwa ini. Yang seperti apakah itu? Itu adalah pertanyaan kita semua, umat manusia.

 

Jadi apakah itu himpunan? Jawaban yang mungkin paling memuaskan, adalah “Himpunan tidak didefinisikan”.

ONMIPA-PT; responding to the last post: locating Indonesian mathematics student in the global mathematical society

Hello everybody. Well, responding to my last issue of Indonesian mathematical society (of which I’ve posted in Bahasa Indonesia), I would like to share my last 2 days experience. Yesterday and today, 30-31 April 2012; yes, the last two days on April; I was attending a regional mathematics competition, namely ONMIPA-PT (Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi); or in English: Collegiate Olympiad in Mathematics and Natural Sciences. Well, you should be familiar with high-school olympiad, such as IMO (mathematics), IBO (biology), IOI (computing), etc. Then ONMIPA-PT should be one of these stuffs, in which the participants are the undergraduate. A little information about ONMIPA-PT you should know. In Indonesia, we do not find many mathematics competition held for undergraduate. However, ONMIPA-PT should be the one of the most prestigious mathematics & natural science competition for undergraduate, since the program is held by Indonesian National Ministry of Education. As long as I know, among many other competitions in Indonesia, ONMIPA-PT has the best quality of the problems presented in the contest. That’s my short introduction to ONMIPA-PT. Well then, in this opportunity, I was attending the west java regional selection of ONMIPA-PT, in order to get to the national selection which will be held in May.

The main idea which I would like to discuss, is the material of the tests. The tests themselves consist of 5 section: real analysis, combinatorics, complex analysis, abstract algebra, and linear algebra. Although (as I’ve mentioned above) ONMIPA-PT has the best quality of the problems, I’ve found some problems there are equivalent to our regular mid term test problem in ITB. I don’t know, but I think that the difficulty of ONMIPA should be much much higher than regular mid term test problem. I would like to discuss to everyone about how is the quality of the problems? Are they too easy, or too difficult, or just so so? I really appreciate any opinion about my issues. Below I present you 1 problem of each section, in which I consider the most difficult among other problems.

Real Analysis

Given a real-valued function f is differentiable on [a,b]. Show that for each \gamma \in [f'(a),f'(b)] ;WLOG, f'(a)<f'(b), there is c \in (a,b) such that f'(c)=\gamma.

Combinatorics

Given any 7 different real numbers. Show that there are always 2 of them, namely a and b such that 0<\frac{a-b}{1+ab} < \sqrt{3}.

Complex Analysis

Given f is a complex-valued function. f and its conjugate are analytic in a connected domain. Show that f must be constant.

Abstract Algebra

Let G be any set having an associative multiplication operation. Suppose there is an element e \in G enjoying the following properties:

  1. For each g \in G, ge=g
  2. For each g \in G there always g' \in G such that gg'=e

Show that G is a group.

Linear Algebra

Let A \in \mathbb{R}^{2013 \times 2013} with A=[a_{ij}]. The value of a_{ij} is defined as follows: a_{ij}=1 if j>i or j=i-1a_{ij}=0 if j<i-1 or j=i. Calculate the determinant of A.

Well, those are the problems of last 2 day’s ONMIPA-PT. Any comment about the difficulty level of the problem is extremely welcome!

Where are we, Indonesian in the Global Mathematics Community?

Sorry, in Bahasa Indonesia.

Kali ini saya tidak punya ide sama sekali untuk menulis dlm bhs Inggris. -____-

Yah, yang pasti saat ini saya sedang sibuk, cukup sibuk untuk tidak menulis dalam waktu berminggu-minggu. Sibuk apa? Ada deh. =p

Di postingan kali ini, saya ingin membagikan pemikiran saya mengenai kemampuan anak-anak bangsa dalam bermatematika. Diskusi mengenai pemikiran saya ini akan sangat saya hargai. Siang ini, di sebuah kelas “Pengantar” Analisis Real (jangan tanya kenapa ada ” ” di kata pengantar), seorang teman sekelas saya membawa buku “Berkeley problem in Mathematics”, sebuah buku kumpulan soal-soal yang dirasa “bagus” dan menantang untuk diselesaikan. Soal-soal ini, walaupun memang susah-susah, dirancang untuk dapat ‘dinikmati’ oleh para mahasiswa S1. Cakupan materi dari buku ini simpel: analisis dan aljabar. Namun demikian, penyelesaian soal-soal di buku ini membutuhkan energi ekstra, sama sekali ekstra (setidaknya bagi saya). Soal-soal yang berhasil saya solve dengan usaha saya sendiri dapat dihitung dengan jari. Demikian pengantar saya mengenai deskripsi buku. Bukan buku ini yang jadi pusat perhatian. Pusat perhatian saya adalah pada ucapan dosen saya, “Wah kamu bawa buku Berkeley? Bagus. Kalau kamu mau sekolah di Eropa, buku itu yang akan jadi standar qualifikasi kamu.”

Sontak, saya berpikir, “Ah, bapak ini lebai kali.” Itu standar yang sangat tinggi cuy! Level IMC mungkin ya? Gatau juga sih, saya ga pernah ikut IMC jd juga ga tau. Haha. Tapi yang lebih mengejutkan, si bapak itu tiba-tiba menghadirkan salah satu mahasiswanya yang lulusan Jerman ke kelas, dan mahasiswanya itu bercerita bahwa memang standar di Eropa dan standar di Indonesia memang jauh beda banget! Masa di tingkat 1 mereka udah belajar analisis real & kompleks? Terus di tingkat 3, bahkan mereka udah belajar analisis fungsional, teori ukuran, & integral Lebesgue; yang notabene itu materi kuliah pasca sarjana Matematika ITB. Ini matematika ITB loh, salah satu kampus terbaik bangsa, bukan kampus ‘ecek-ecek’ di Indonesia. Loh tapi kalo dibanding dg kampus di Jerman sana, kampus kita jadi ‘ecek-ecek’ loh. Lulusan sarjana mereka setara dengan pengetahuan pasca sarjana kita.

Yang saya bingungkan adalah ini: apa emang standar kita yang terlalu rendah? atau mereka yang terlalu tinggi? Kalo memang kita yang terlalu rendah, kenapa tidak pernah bisa dibuat lebih tinggi? Apa itu karena secara rata-rata kemampuan bermatematika bangsa Indonesia lebih cupu dibanding bangsa Kaukasian? Apakah itu bisa ditingkatkan? Kalo memang mereka yang terlalu tinggi, perlukah kita berpuas diri? Kemampuan bangsa Kaukasian tinggi itu apakah memang semuanya secara rata-rata lebih ‘jago’ matematika, atau cuma ‘upper bound’nya saja? Seberapa effort yang perlu kita berikan untuk mendukung pendidikan matematika perguruan tinggi Indonesia? Pentingkah itu?

Di manakah bangsa kita dalam komunitas matematika global?