Tagged: matematika

Peluang kecelakaan Satu di antara Sejuta: Jika 999.999 selamat dan Anda orang ke-sejuta, Masihkah Anda Melanjukan?

Seorang sahabat pernah menceletukkan pikiran isengnya yang sangat legitimate untuk dipertanyakan: misalnya kecelakaan suatu maskapai penerbangan adalah 1 dibanding 1.000.000. Seandainya kita tahu bahwa 999.999 penerbangan sebelumnya selamat, dan kita akan memasuki penerbangan yang ke 1.000.000. Beranikah kita masuk ke dalam pesawat itu? Pastikah terjadi kecelakaan di penerbangan tersebut?

Ini adalah pertanyaan yang sangat menarik! Jika ternyata penerbangan itu tidak mengalami kecelakaan, bukankah ini berarti bahwa peluang kecelakaannya tidak lagi satu dibanding sejuta (karena dari 1 juta penerbangan, tidak ada satupun yang kecelakaan)? Lalu jika memang “selalu” ada 1 dari sejuta penerbangan yang mengalami kecelakaan, apa itu berarti penerbangan ke-sejuta kita pasti kecelakaan?

Untuk meluruskan kebingungan ini, kita perlu mendefinisikan ulang apa makna peluang suatu kejadian dan distribusinya. Pertama-tama, perlu kita pahami bahwa biasanya, statistik yang diberikan media tentang suatu kejadian (katakanlah kecelakaan pesawat) adalah estimasi berdasarkan data historis. Artinya, nilai proporsi ini bukan nilai yang sesungguhnya, tapi dengan selang kepercayaan tertentu, kita dapat yakin estimasi ini cukup “dekat” dengan proporsi dalam dunia nyata. Lebih jauh lagi, nilai estimasi ini sangat bergantung pada data historis yang dimiliki sebelumnya. Hal ini akan semakin jelas setelah kita diskusikan bagian berikut.

Untuk memahami fenomena ini, kita akan memakai model yang jauh lebih umum dan lebih mudah untuk dianalisis. Misalkan ada n (pilih n cukup besar nanti, minimal sejuta lah) buah apel dalam keranjang dan hanya ada 1 buah yang busuk di antaranya. Maka, dengan cepat kita dapat simpulkan bahwa ketika kita ambil sebuah apel secara acak, peluang kita peroleh apel busuk adalah satu dibanding n. Perhatikan bahwa nilai peluang dalam kasus ini adalah nilai eksak dan bukan estimasi. Peluang mendapatkan apel busuk adalah betul-betul 1/n. Lalu jika kita lakukan pengambilan buah secara acak (dan setelah diambil, buah dikembalikan lagi) sebanyak n-1 kali dan selalu diperoleh apel yang baik, berapa peluang apel ke sejuta busuk? Perhatikan bahwa jika semua pengambilan selalu disertai dengan pengembalian, maka pemilihan buah dalam suatu percobaan tidak bergantung pada pemilihan buah dalam percobaan yang lain. Dalam bahasa statistik, setiap pengambilan buah saling bebas satu sama lain. Dengan demikian, jika kita diberi informasi bahwa n-1 pengambilan pertama tidak memberikan apel busuk, informasi itu tidak memberi pengaruh apapun dalam perhitungan peluang apel ke-sejuta. Dengan kata lain, peluang busuknya apel kesejuta sama dengan peluang busuknya apel pertama, yang tidak lain adalah 1/n. Anehkah? Jika kita tetapkan n=6, maka kasus ini akan sama dengan kasus melempar dadu. Peluang kita peroleh angka 1 adalah 1/6. Lalu, jika kita melempar dadu sebanyak 5 kali dan kita tidak peroleh angka 1, berapa peluang dadu keenam bermata 1? Tentu 1/6 bukan, sama seperti pelemparan yang lain? Ya, tidak ada yang aneh dari semua perhitungan ini.

Namun demikian, kita dapat kembali mempertanyakan hal ini dengan cara yang berbeda. Bukankah peluang pengambilan apel busuk satu dibanding n berarti bahwa dalam n kali pengambilan, ada satu diantaranya yang busuk? Jadi apa hal ini menjamin dalam n kali pengambilan, pasti ada 1 apel busuk? Jawabannya adalah TIDAK. Kita akan buktikan secara matematis. Dalam sekali pengambilan, peluang terambil apel sehat adalah \left(1-\dfrac{1}{n}\right). Maka, peluang tidak ditemukan apel busuk dalam n kali pengambilan adalah \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n, yang konvergen menuju 1/e\approx 0.3679 ketika n\rightarrow \infty. Perhatikan bahwa nilai ini berbeda dengan nilai peluang yang kita analisis di paragraf sebelumnya (di sini, tidak ada syarat/kondisi yang diberikan). Jadi, perhitungan kita mengatakan bahwa TIDAK PASTI bahwa selalu ditemukan satu apel busuk dalam n kali pengambilan; lebih tepatnya kejadian ini terjadi dengan peluang sekitar 36.79%, suatu angka yang lebih kecil dari 100%.

Sekarang, mari kembali ke cerita pesawat kita. Dalam kasus ini, nilai peluang satu dibanding sejuta bukanlah nilai peluang secara eksak, karena kita tidak bisa membuktikan secara matematis bahwa proporsi kecelakaan pesawat secara apriori memang betul-betul tepat 1 dibanding sejuta. Lalu bagaimana kita dapat mengklaim nilai peluang ini? Kemungkinan besar nilai ini diperoleh dari estimatornya, yang didapat dari pengolahan data sebelumnya. Tentu perhitungan estimator ini mengasumsikan distribusi terjadinya kecelakaan saat ini sama dengan di waktu yang lampau dan kejadian kecelakaan setiap penerbangan saling bebas satu sama lain. Tentu karena perhitungan kita adalah estimasi, maka kita akan selalu memiliki error. Menariknya, kejadian yang terjadi saat ini dapat mengubah nilai estimator menjadi lebih akurat, padahal di saat yang sama nilai estimator tersebut dalam prakteknya digunakan untuk memprediksi realisasi kejadian tersebut. Dengan kata lain, ketika seseorang dapat menyimpulkan peluang kecelakaan adalah 1 banding sejuta, maka sebetulnya sudah ada cukup banyak penerbangan yang sudah diambil data sampelnya (minimal sejuta). Dan sebaliknya, jika kita hanya mengetahui data 999.999 penerbangan saja, kita belum dapat menyimpulkan bahwa estimator peluang kecelakaan adalah 1 banding sejuta. Dengan demikian, cerita yang menjadi pokok permasalahan kita kurang realistis dan mengasumsikan proposisi yang kurang tepat.

Namun demikian, sekalipun kita dapat memperoleh nilai peluang secara eksak (seperti dalam cerita apel busuk), toh BELUM PASTI bahwa selalui ada sebuah kecelakaan dalam sejuta kali penerbangan. Jadi, kepastian yang kita peroleh bahwa penerbangan ke-sejuta tidak pasti mengalami kecelakaan, datang dari dua hal: suku error dari estimator kita dan perhitungan peluang teoretik kita. Dengan demikian, ketika Anda tahu bahwa Anda adalah penumpang ke-sejuta, jangan panik dan buang-buang tiket Anda. Anda hanya perlu melihat angka statistik ini dari perspektif lain dan menyadarinya bahwa itu hanya tipuan belaka. 🙂

What on Earth are Mathematicians’ Works Good For?

Saya sudah terlalu sering mendengar pertanyaan semua orang, “Oh kamu belajar matematika? Wah kamu mau jadi apa?” sampai saya hampir selalu dapat membedakan pertanyaan mana yang benar-benar tulus yang dilandasi rasa ingin tahu, atau pertanyaan mana yang hanya bertujuan untuk menghina. Namun demikian, pertanyaan ini ternyata memang pertanyaan yang sangat esensial untuk perlu dipertanyakan seseorang yang menyebut diri sebagai seorang matematikawan. Apa artinya menjadi seorang matematikawan? Kontribusi apa yang dapat diberikan seorang matematikawan pada masyarakat? Seberapa pentingkah posisi matematikawan dalam suatu struktur masyarakat? Tentu ini adalah pertanyaan yang sangat penting untuk dijawab, karena tanpa perenungan yang serius atas pertanyaan ini, seseorang berhak mengklaim bahwa keberadaan matematikawan menjadi tidak berarti di dunia ini. Kecuali diskusi mengenai hal ini terjawab secara tuntas, seorang matematikawan sebetulnya sedang berada dalam sebuah krisis identitas yang sangat serius.

Tentu sebagian besar orang pada zaman sekarang harus mengakui bahwa matematika adalah suatu entitas yang fundamental dan menjadi pusat dalam sejarah peradaban manusia. Melalui matematika, manusia dapat menafsirkan alam semesta. Melalui matematika, manusia dapat merekayasa suatu sistem. Melalui matematika, manusia menemukan cara untuk kehidupan yang lebih baik. Namun betulkah semua dampak yang sedemikian besar ini diberikan oleh para matematikawan? Saya meragukannya. Saya lebih percaya bahwa orang-orang yang terlibat dalam perkembangan peradaban kemanusiaan ini lebih cocok disebut sebagai para saintis atau ilmuwan. Lalu apa yang dikerjakan para matematikawan? Jika Anda berdiskusi mengenai hal ini pada seorang matematikawan, mungkin dia akan menjawab bahwa matematika tidak sesempit dan sekecil itu. Peran matematika tidak hanya sesempit memberi kerangka berpikir ilmiah yang memimpin penelitian seorang fisikawan pada penemuan besar tentang hukum alam. Itu hanya ‘kulit’ dari matematika saja dan dampak yang dirasakan si fisikawan tersebut itu hanyalah ‘bonus’nya saja. Inti dari matematika jelas lebih besar dan lebih agung daripada hanya sekedar ‘alat’ penelitian.

Jika memang esensi matematika jauh melampaui ekspektasi sebagian besar orang di dunia ini, lalu seperti apakah esensi agung dan besar yang disaksikan oleh para matematikawan itu? Ironisnya, jawaban terbaik yang mungkin dapat diberikan seorang matematikawan hanyalah sebuah ‘tidak tahu’. Sampai saat ini, tidak ada deskripsi mengenai matematika yang cukup memuaskan untuk disepakati semua kalangan. Agaknya, semakin seseorang bergelut dengan matematika, semakin banyak dia tahu bahwa ada terlalu banyak yang dia tidak tahu tentangnya. Tapi seorang matematikawan tahu suatu hal, yaitu bahwa matematika itu penuh keindahan. Ketika Paul Erdos, salah seorang matematikawan legendaris di abad keduapuluh, mengomentari bukti sebuah teorema yang menurutnya sangat cantik, dia berkata bahwa bukti tersebut berasa dari ‘The Book’, suatu metafora yang menggambarkan sebuah entitas penuh keindahan yang mungkin sebetulnya tidak pernah diketahui secara penuh oleh seluruh matematikawan di sepanjang sejarah. Namun demikian, sekali lagi mereka semua sepakat mengenai satu hal: bahwa keindahan itu ada.

Sampai sejauh ini kita bisa sepakat bahwa walaupun matematika memiliki potensi untuk memberi dampak besar bagi perkembangan peradaban manusia (baca: penerapan matematika di dunia sehari-hari), terkadang seorang matematikawan tidak terlalu mempedulikan hal itu. Bahkan tidak jarang seorang matematikawan dengan sengaja mengabaikan aplikasi matematika dan membiarkan dirinya tenggelam dalam keterpesonaannya atas keindahan matematika yang baru saja ia temukan melalui sebuah eksplorasi yang sangat rumit. Penemuan bahwa konsep pewarnaan graf dapat bermanfaat untuk metode penjadwalan terkadang menjadi tidak lebih penting dari penemuan bahwa selalu terdapat graf dengan bilangan kromatik dan siklus terkecil (girth) sebesar apapun yang kita mau. Penemuan pertama jelas memberi manfaat yang besar bagi dunia, sementara penemuan kedua tidak terlihat dapat memberi manfaat yang cukup jelas. Namun demikian, penemuan yang pertama terkadang tidak lebih dirayakan oleh para komunitas matematikawan dibanding penemuan yang kedua. Mengapa? Karena gagasan yang diberikan pada setiap penemuan memiliki keindahan yang hanya dapat dilihat oleh para matematikawan. Dan ketika keindahan tersebut (dalam batas tertentu) seringkali lebih dirayakan dibanding penemuan lain yang memberi manfaat, itu berarti bahwa keindahan tersebut begitu penting bagi peradaban umat manusia.

Dalam hal ini, sepertinya para matematikawan tidak sendirian. Tidak jarang pula kita mendengar para seniman diremehkan dan diragukan perannya dalam masyarakat. Memangnya kita bisa kenyang dengan melukis? Memangnya dengan mengabah simfoni orkestra kamu bisa memberi perubahan pada masyarakat? Ada banyak orang kelaparan di luar sana dan jika hidupmu diberikan untuk membantu mereka, dunia dapat menjadi lebih baik daripada kau hanya mengurung diri di kamar untuk menghasilkan sajak-sajak yang tidak semua orang dapat mengapresiasinya. Proposisi yang diberikan dalam diskusi semacam ini sepertinya betul dan membuat profesi para seniman menjadi tidak bermakna. Namun kenyataannya dakwaan yang dilontarkan pada para seniman ini mungkin sama sekali tidak relevan bagi hidup mereka. Mengapa? Karena mereka tahu, apa yang mereka kerjakan memberikan keindahan yang sangat penting, jauh lebih penting dibanding segala pertimbangan yang ditawarkan oleh para pendakwa tersebut.

Mengapa seni penting? Mengapa keindahan penting bagi hidup manusia? Karena di titik inilah kita temukan perbedaan manusia dengan ciptaan lainnya. Tidak ada semut yang berhenti mengangkut gula dari dapur untuk terkesima ketika seorang anak perempuan memainkan Hungarian Rhapsody di ruang sebelah dapur. Tidak ada anjing yang berhenti berlari-lari untuk mengagumi keagungan arsitektur Basilika Santo Petrus yang hanya berjarak belasan meter darinya. Mengapa pekerjaan seniman penting? Karena mereka sedang mengapresiasi suatu entitas bernama ‘keindahan’ yang hanya dapat dilakukan oleh manusia.

Harus kita akui, memandangi lukisan Van Gogh secara langsung di Amsterdam merupakan pengalaman yang lebih berharga dibanding hanya melihat setumpuk sampah. Mendengarkan Simfoni no 9 Beethoven adalah aktivitas yang jauh lebih berharga dibanding hanya mendengarkan klakson mobil di perempatan jalan. Bahkan ketika kita harus membayar untuk melakukan kegiatan yang pertama dan dibayar untuk melakukan kegiatan kedua, kita jelas akan memilih kegiatan yang pertama. Mengapa? Karena kegiatan pertama memberikan keindahan bagi hidup kita. Memang betul, seseorang tidak bisa jadi kenyang dan menyekolahkan anaknya hanya dengan mengerjakan seni. Dan juga betul bahwa ada seorang yang bisa menjadi sangat sukses tanpa pernah hidupnya tersentuh oleh keindahan seni. Namun, seorang yang tersentuh oleh seni memperoleh kemanusiaan yang lebih penuh, dibanding orang yang tidak pernah mau menghargai seni, sesukses dan seterhormat apapun dia.

Kembali pada topik matematikawan. Sepertinya para matematikawan harus setuju bahwa pekerjaan mereka dalam porsi tertentu, persis sama dengan pekerjaan para seniman. Para seniman berkontribusi pada dunia dengan membawakan keindahan untuk dunia nikmati. Demikian pula seharusnya para matematikawan bekerja segiat mungkin untuk memamerkan keindahan matematika untuk dinikmati semua kalangan. Sama seperti seni, hanya manusia yang dapat membuat matematika berarti. Patung karya Bernini tidak akan berbeda dengan batu lainnya bagi kucing. Hanya manusia yang dapat mengerti bahwa patung tersebut bernilai jauh lebih tinggi dibanding seonggok batu biasa. Demikian pula dengan matematika. Tanpa ada pikiran manusia yang memahami signifikasi teorema fundamental aljabar, fakta bahwa setiap polinomial memiliki akar sebanyak derajatnya tidak akan pernah menjadi sesuatu yang dirayakan dan menjadi warisan pengetahuan yang sangat penting.

Oleh sebab itu, adalah penting untuk menumbuhkan kesadaran pada setiap orang bahwa keindahan yang matematika tawarkan dapat dinikmati selayaknya seseorang menikmati seni. Ketika seseorang disodorkan fakta bahwa operasi integral merupakan anti turunan (teorema dasar kalkulus), dia dapat menjadi terkejut dan meragukannya, karena secara sekilas sepertinya luas daerah di bawah kurva tidak ada hubungannya dengan kemiringan kurva tersebut. Namun ketika dia berhasil memahami bagaimana pemaparan logis premis-premis yang berinteraksi dalam bukti matematis teorema tersebut, dia dapat menjadi terpesona dan mengagumi keagungan gagasan tersebut. Pada titik inilah, seseorang dapat mengapresiasi matematika sebagaimana seorang pengamat seni membiarkan dirinya terpaku berjam-jam untuk mengagumi sebuah lukisan. Oleh sebab itu, mendidik seorang anak mengenai keindahan teorema pythagoras haruslah sama seperti mengajarkan bahwa Roman Siti Nurbaya merupakan sebuah karya sastra yang sangat baik yang dapat dinikmati sebagai warisan luhur kemanusiaan.

Jadi, apa peran matematikawan di dunia ini? Dunia jelas membutuhkan kehadiran para matematikawan untuk menyediakan akses bagi masyarakat mengenai keindahan ultimat gagasan-gagasan matematis. Apa yang membuat akses pada keindahan ini penting? Karena di titik inilah, salah satu aspek dari kemanusiaan yang penuh dapat dicapai. Walaupun matematika memberikan begitu banyak kemudahan bagi manusia untuk memahami fenomena alam, namun pada intinya, rupanya matematika tidak sedang berbicara mengenai alam. Matematika duduk dengan anggun di tahtanya yang tak terjamah oleh pikiran manusia. Dan ketika pemikiran seorang matematikawan berhasil menemukan keindahan dari ujung jubahnya, penemuan ini memberikan keindahan yang luar biasa besar bagi perjalanan akal budinya. Adalah tugas para matematikawan untuk membagikan keindahan ini pada setiap insan yang merindukan akal budinya dipelihara oleh keindahan.

Tepok Nyamuk (1) – How much would you suffer from the loss?

Matematika dalam bermain. Bermain dalam matematika.

Salah satu permainan kartu yang cukup populer di Indonesia adalah “Tepok Nyamuk”. Dalam permainan ini, setiap peserta dibagikan sejumlah kartu secara berimbang dalam keadaan tertutup. Setelah itu, salah seorang pemain akan membuka kartu teratas miliknya sambil berteriak “dua”, sementara pemain berikutnya melakukan hal yang sama dan meneriakkan “tiga”, dan seterusnya. Urutan angka yang diucapkan pemain dilakukan secara sirkuler sesuai urutan kartu remi, artinya setelah angka 10, pemain berikutnya akan mengucapkan “Jack”, “Queen”, “King”, “As” dan kemudian kembali lagi ke “dua”. Proses ini akan berhenti ketika nilai kartu yang dikeluarkan seorang pemain sama persis dengan nilai yang disebutkannya itu. Pada saat itu, setiap pemain harus secepat mungkin menepuk kartu tersebut dan pemain terakhir yang menepuk kalah dalam ronde itu, sehingga ia harus mengambil semua kartu yang sudah dikeluarkan sebelumnya untuk masuk ke dalam kartu di tangannya. Pemain pertama yang berhasil menghabiskan kartu di tangannya menjadi pemenang permainan ini.

Tentu permainan ini sangat menarik dan menantang, karena kita harus memusatkan konsentrasi dan kewaspadaan kita ketika kartu-kartu dikeluarkan. Jika kita terlalu lambat untuk menyadari kecocokan urutan yang disebut dan kartu yang dikeluarkan, maka bersiap-siaplah untuk menanggung beban kartu yang bisa jadi tambahan kartu tangan kita!

Namun demikian, di tengah keceriaan dan keseruan permainan ini, kita dapat membuat suatu pertanyaan strategis yang dapat membantu kita memahami inti permainan ini. Ketika kecocokan terjadi dan semua pemain menepuk kartu, kita mempunyai peluang untuk menjadi pemain yang kalah dalam tepukan itu. Jika kita kalah, maka banyak kartu di tangan akan bertambah. Jika tidak, maka tentu banyak kartu tangan kita akan lebih sedikit dari sebelum ronde dimulai (karena diambil si kalah). Nah, seandainya kita kalah dalam suatu ronde, kira-kira berapa perkiraan kartu yang akan kita terima? Tentu saja jawabannya bervariasi! Mungkin saja dalam sekali putaran, sudah terjadi kecocokan, sehingga kartu yang dikeluarkan hanya sedikit. Tapi mungkin juga kecocokan tidak juga terjadi walaupun kita sudah mengeluarkan semua kartu yang kita punya! Tentu saja ini adalah kejadian yang stokastik, namun kita akan berusaha menyelidiki berapa rata-rata kartu yang harus dikeluarkan dalam satu ronde sampai sebuah kecocokan terjadi. Let’s introduce the math!

[prerequisite untuk pemahaman penuh tentang model matematika di bawah hanyalah statistika dasar]

Untuk memperoleh hasil, kita dapat mendekati masalah ini dengan model yang lebih sederhana. Katakanlah kita ubah aturan permainan sehingga setiap pemain tidak memegang kartu di tangan, dan yang ada hanya sebuah deck kartu lengkap dalam keadaan tertutup. Dalam setiap giliran, pemain memilih satu kartu secara acak dan membukanya sambil menyebut sebuah nilai secara terurut. Ketika tidak terjadi kecocokan, maka pemain akan mengembalikan kartu tersebut ke dalam deck secara acak pula. Tentu ini metode bermain yang sangat tidak praktis dan tidak menyenangkan, namun dengan model ini, kita akan memperoleh suatu model matematika yang sangat indah! Tentu saja dengan metode ini, peluang seseorang menyebutkan urutan dan mengeluarkan kartu dengan cocok adalah 1 banding 13, karena terdapat 52 kartu dalam sebuah deck lengkap dan terdapat tepat empat kartu yang nilainya cocok dengan (berapapun) nilai yang disebutkan oleh sang pemain. Fakta inilah yang akan menjadi dasar perhitungan kita!

Sekarang, kita definisikan suatu peubah acak X, yang menyatakan banyak kartu yang perlu dikeluarkan sampai terjadi kecocokan. Seandainya X bernilai k, maka ini berarti bahwa k-1 kartu pertama yang dikeluarkan tidak sesuai dengan nilai urutan yang disebut para pemain, dan kartu ke-k harus menjadi kartu pertama yang nilainya cocok. Seperti yang telah kita bahas di atas, peluang sebuah kartu dikeluarkan dengan cocok adalah 1/13, maka peluang sebuah kartu dikeluarkan tidak cocok adalah 1-1/13=12/13. Dengan demikian, peluang kejadian X=k terjadi adalah sebesar \dfrac{12^{k-1}}{13^k}. Dengan demikian, kita peroleh X merupakan sebuah peubah acak berdistribusi geometrik dengan parameter p=\frac{1}{13} (referensi:http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution). Dan dengan mudah, kita dapat klaim bahwa rata-rata nilai X adalah sebesar \frac{1}{p}=13. (Prove this! It’s fun! Petunjuk: gunakan fungsi pembangkit peluang).

Dengan demikian, kita telah peroleh jawabannya! Ketika kita kalah dalam suatu ronde, maka rata-rata kartu yang akan kita terima adalah sebesar 13 kartu! Jumlah yang cukup banyak ya ternyata! Tentu saja dalam kenyataanya, nilai rata-rata yang akan kita peroleh mungkin sedikit berbeda karena model matematika yang kita pakai berbeda dengan kenyataannya, sehingga nilai inipun juga merupakan estimasi dari rata-rata yang sebenarnya. Namun demikian, saya cukup yakin bahwa nilai rata-rata ini cukup baik untuk memberika gambaran pada permainan yang sebenarnya. Well, sejujurnya saya belum pernah melakukan “test lab” dengan mencatat semua data kartu yang diterima si kalah dan merata-rata nilai tersebut. Jika ada seseorang yang bersedia melakukan itu dan memberitahu hasilnya ke saya untuk mencocokkan apakah benar hasil yang diperoleh memang betul dekat dengan 13, that would be great!

Pertanyaan berikutnya yang mungkin relevan, adalah berapa banyak ronde yang kita perlukan untuk menyelesaikan permainan ini? Seandainya ada 4 pemain, maka masing-masing pemain menerima 13 kartu tangan di awal. Karena dalam 1 ronde, si kalah harus menerima tambahan rata-rata sebanyak 13 kartu, maka kartu tangan pemain lain akan berkurang sekitar \frac{13}{4} kartu, atau sekitar 3 kartu. Dalam kasus terbaik, ketika ada seorang yang tidak pernah kalah sama sekali sepanjang permainan, dia akan menyelesaikan permainan itu dalam 4-5 ronde. Namun apakah nilai ini adalah nilai rata-rata banyak ronde yang diperlukan? Tentu saja tidak! Bagaimana kita menghitung nilai rata-rata ini secara rigorous? Tunggu postingan saya selanjutnya. 🙂

[Silakan coba-coba dulu kalo penasaran. Hint: Markov Chain]

MCF – MMC ITB 2014

Mathematical Challenge Festival (MCF) Institut Teknologi Bandung merupakan acara dwitahunan yang diselenggarakan oleh Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) ITB sejak tahun 2002. Dalam perkembangannya, MCF ITB telah diadakan sebanyak lima kali. 

MCF ITB merupakan suatu ajang dimana seluruh siswa – siswi SMA dari seluruh Indonesia bersama-sama merayakan matematika sebagai ilmu dasar yang mewarnai kehidupan mereka. Pada acara ini, setiap peserta MCF diberi kesempatan untuk menikmati matematika bersama-sama, dalam suatu rangkaian acara yang koheren. 

 

Mathematics Modeling Competition (MMC) Institut Teknologi Bandung merupakan program kerja perdana yang dirilisoleh FMIPA ITB, Kelompok Keahlian Matematika Industri dan Keuangan (KK MIK). Acara ini merupakan suatu kontes pemodelan matematika pertama di Indonesia yang dibuka untuk tingkat mahasiswa. Bersamaan dengan MCF ITB, melalui acara ini diharapkan setiap peserta mahasiswa juga bersama – sama merayakan matematika dalam suatu ajang pemodelan matematika.

 

Di sini, akan ada Kompetisi Pemodelan Matematika tingkat Siswa dan juga Mahasiswa. Untuk tingkat Mahasiswa, ini merupakan kompetisi pemodelan matematika PERTAMA di Indonesia!

Sign up now! http://www.math.itb.ac.id/mcf-mmc Pendaftaran terbatas! 

#IndonesiaBermatematika