Peluang kecelakaan Satu di antara Sejuta: Jika 999.999 selamat dan Anda orang ke-sejuta, Masihkah Anda Melanjukan?

Seorang sahabat pernah menceletukkan pikiran isengnya yang sangat legitimate untuk dipertanyakan: misalnya kecelakaan suatu maskapai penerbangan adalah 1 dibanding 1.000.000. Seandainya kita tahu bahwa 999.999 penerbangan sebelumnya selamat, dan kita akan memasuki penerbangan yang ke 1.000.000. Beranikah kita masuk ke dalam pesawat itu? Pastikah terjadi kecelakaan di penerbangan tersebut?

Ini adalah pertanyaan yang sangat menarik! Jika ternyata penerbangan itu tidak mengalami kecelakaan, bukankah ini berarti bahwa peluang kecelakaannya tidak lagi satu dibanding sejuta (karena dari 1 juta penerbangan, tidak ada satupun yang kecelakaan)? Lalu jika memang “selalu” ada 1 dari sejuta penerbangan yang mengalami kecelakaan, apa itu berarti penerbangan ke-sejuta kita pasti kecelakaan?

Untuk meluruskan kebingungan ini, kita perlu mendefinisikan ulang apa makna peluang suatu kejadian dan distribusinya. Pertama-tama, perlu kita pahami bahwa biasanya, statistik yang diberikan media tentang suatu kejadian (katakanlah kecelakaan pesawat) adalah estimasi berdasarkan data historis. Artinya, nilai proporsi ini bukan nilai yang sesungguhnya, tapi dengan selang kepercayaan tertentu, kita dapat yakin estimasi ini cukup “dekat” dengan proporsi dalam dunia nyata. Lebih jauh lagi, nilai estimasi ini sangat bergantung pada data historis yang dimiliki sebelumnya. Hal ini akan semakin jelas setelah kita diskusikan bagian berikut.

Untuk memahami fenomena ini, kita akan memakai model yang jauh lebih umum dan lebih mudah untuk dianalisis. Misalkan ada n (pilih n cukup besar nanti, minimal sejuta lah) buah apel dalam keranjang dan hanya ada 1 buah yang busuk di antaranya. Maka, dengan cepat kita dapat simpulkan bahwa ketika kita ambil sebuah apel secara acak, peluang kita peroleh apel busuk adalah satu dibanding n. Perhatikan bahwa nilai peluang dalam kasus ini adalah nilai eksak dan bukan estimasi. Peluang mendapatkan apel busuk adalah betul-betul 1/n. Lalu jika kita lakukan pengambilan buah secara acak (dan setelah diambil, buah dikembalikan lagi) sebanyak n-1 kali dan selalu diperoleh apel yang baik, berapa peluang apel ke sejuta busuk? Perhatikan bahwa jika semua pengambilan selalu disertai dengan pengembalian, maka pemilihan buah dalam suatu percobaan tidak bergantung pada pemilihan buah dalam percobaan yang lain. Dalam bahasa statistik, setiap pengambilan buah saling bebas satu sama lain. Dengan demikian, jika kita diberi informasi bahwa n-1 pengambilan pertama tidak memberikan apel busuk, informasi itu tidak memberi pengaruh apapun dalam perhitungan peluang apel ke-sejuta. Dengan kata lain, peluang busuknya apel kesejuta sama dengan peluang busuknya apel pertama, yang tidak lain adalah 1/n. Anehkah? Jika kita tetapkan n=6, maka kasus ini akan sama dengan kasus melempar dadu. Peluang kita peroleh angka 1 adalah 1/6. Lalu, jika kita melempar dadu sebanyak 5 kali dan kita tidak peroleh angka 1, berapa peluang dadu keenam bermata 1? Tentu 1/6 bukan, sama seperti pelemparan yang lain? Ya, tidak ada yang aneh dari semua perhitungan ini.

Namun demikian, kita dapat kembali mempertanyakan hal ini dengan cara yang berbeda. Bukankah peluang pengambilan apel busuk satu dibanding n berarti bahwa dalam n kali pengambilan, ada satu diantaranya yang busuk? Jadi apa hal ini menjamin dalam n kali pengambilan, pasti ada 1 apel busuk? Jawabannya adalah TIDAK. Kita akan buktikan secara matematis. Dalam sekali pengambilan, peluang terambil apel sehat adalah \left(1-\dfrac{1}{n}\right). Maka, peluang tidak ditemukan apel busuk dalam n kali pengambilan adalah \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n, yang konvergen menuju 1/e\approx 0.3679 ketika n\rightarrow \infty. Perhatikan bahwa nilai ini berbeda dengan nilai peluang yang kita analisis di paragraf sebelumnya (di sini, tidak ada syarat/kondisi yang diberikan). Jadi, perhitungan kita mengatakan bahwa TIDAK PASTI bahwa selalu ditemukan satu apel busuk dalam n kali pengambilan; lebih tepatnya kejadian ini terjadi dengan peluang sekitar 36.79%, suatu angka yang lebih kecil dari 100%.

Sekarang, mari kembali ke cerita pesawat kita. Dalam kasus ini, nilai peluang satu dibanding sejuta bukanlah nilai peluang secara eksak, karena kita tidak bisa membuktikan secara matematis bahwa proporsi kecelakaan pesawat secara apriori memang betul-betul tepat 1 dibanding sejuta. Lalu bagaimana kita dapat mengklaim nilai peluang ini? Kemungkinan besar nilai ini diperoleh dari estimatornya, yang didapat dari pengolahan data sebelumnya. Tentu perhitungan estimator ini mengasumsikan distribusi terjadinya kecelakaan saat ini sama dengan di waktu yang lampau dan kejadian kecelakaan setiap penerbangan saling bebas satu sama lain. Tentu karena perhitungan kita adalah estimasi, maka kita akan selalu memiliki error. Menariknya, kejadian yang terjadi saat ini dapat mengubah nilai estimator menjadi lebih akurat, padahal di saat yang sama nilai estimator tersebut dalam prakteknya digunakan untuk memprediksi realisasi kejadian tersebut. Dengan kata lain, ketika seseorang dapat menyimpulkan peluang kecelakaan adalah 1 banding sejuta, maka sebetulnya sudah ada cukup banyak penerbangan yang sudah diambil data sampelnya (minimal sejuta). Dan sebaliknya, jika kita hanya mengetahui data 999.999 penerbangan saja, kita belum dapat menyimpulkan bahwa estimator peluang kecelakaan adalah 1 banding sejuta. Dengan demikian, cerita yang menjadi pokok permasalahan kita kurang realistis dan mengasumsikan proposisi yang kurang tepat.

Namun demikian, sekalipun kita dapat memperoleh nilai peluang secara eksak (seperti dalam cerita apel busuk), toh BELUM PASTI bahwa selalui ada sebuah kecelakaan dalam sejuta kali penerbangan. Jadi, kepastian yang kita peroleh bahwa penerbangan ke-sejuta tidak pasti mengalami kecelakaan, datang dari dua hal: suku error dari estimator kita dan perhitungan peluang teoretik kita. Dengan demikian, ketika Anda tahu bahwa Anda adalah penumpang ke-sejuta, jangan panik dan buang-buang tiket Anda. Anda hanya perlu melihat angka statistik ini dari perspektif lain dan menyadarinya bahwa itu hanya tipuan belaka. 🙂

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s