Berulang Tahun di Tanggal yang Sama, Kebetulankah?

Pernahkah Anda mengenal seseorang yang berulangtahun di tanggal yang sama dengan ulang tahun Anda? Mungkin Anda mengenal satu atau dua orang. Tentu saja tidak mungkin semua orang berulang tahun di hari yang sama dengan ulang tahun Anda. Ada 365 (atau 366 jika 29 Februari terhitung) kemungkinan tanggal ulang tahun yang dapat dimiliki oleh seseorang yang baru Anda kenal. Dengan demikian, peluang orang tersebut memiliki ulang tahun yang sama dengan Anda adalah 1 dibanding 365. Suatu proporsi yang cukup kecil, yang berarti bahwa Anda dapat berharap hanya ada 1 orang yang berulangtahun di hari ulang tahun Anda untuk setiap 365 orang yang baru Anda kenal. Berangkat dari pengamatan ini, Anda mungkin berpikir bahwa dua orang yang memiliki ulang tahun yang sama adalah kejadian yang tidak terlalu sering terjadi dalam skala yang cukup kecil. Namun benarkah hal ini?

Anda dapat menanyakan pada seorang guru kelas atau pegawai rumah sakit yang menyimpan data diri sejumlah murid atau pasien. Walaupun hanya ada cukup sedikit murid dalam suatu kelas, atau pasien yang masuk dalam satu hari, kerap sekali mereka menemukan setidaknya ada 2 orang yang berulangtahun di hari yang sama. Tentu saja, jika kita mengumpulkan data diri 366 orang, kita dapat memastikan adanya suatu tanggal yang menjadi ulang tahun 2 orang atau lebih, karena hanya ada 365 kemungkinan tanggal lahir (hal ini sering juga disebut prinsip sangkar merpati dalam matematika diskrit). Namun demikian, Anda boleh membuktikan melalui pengamatan pribadi Anda, bahwa Anda tidak perlu mengumpulkan sampai ratusan orang hanya untuk menemukan dua orang berulang tahun di tanggal yang sama. Bahkan, hanya dengan mengumpulkan data diri 25 orang saja, Anda mungkin akan menemukan fenomena ini dengan peluang yang cukup tinggi.

Secara sekilas, pernyataan di atas mungkin terdengar mengherankan, karena jika kita hanya memiliki 25 data yang secara acak yang terambil dari 365 kemungkinan yang ada, data tersebut seharusnya “terpencar-pencar” ke seluruh kemungkinan tanggal yang ada dan tidak seharusnya saling “bertabrakan” karena masih ada banyak “tanggal kosong” yang belum terpakai. Namun demikian, fakta matematis dapat menunjukkan bahwa memang peluang terjadinya fenomena ini cukup tinggi, yaitu 56,87%. Lebih jauh lagi, jika kita menambah data menjadi 58 orang, kita sudah memiliki peluang sebesar 99%!

Bagaimana kita dapat memperoleh angka ini? Kita akan mengasumsikan bahwa tidak ada orang yang berulang tahun di 29 Februari, sehingga hanya ada 365 kemungkinan tanggal. Juga kita asumsikan bahwa proporsi tanggal kelahiran seluruh umat manusia berdistribusi seragam, artinya tidak ada satu tanggal yang bertendensi untuk memiliki lebih banyak orang yang lahir di tanggal tersebut, dibanding dengan tanggal yang lain.

Katakanlah kita mempunyai k\le 365 buah data. Perhitungannya cukup sederhana. Kita akan menghitung peluang kejadian komplemennya, yaitu peluang setiap orang memiliki ulang tahun yang berbeda. Kita akan menghitung peluang tidak adanya ulang tahun bersama selangkah demi selangkah. Ketika kita menginput data pertama, tentu tidak mungkin kita menemukan ulang tahun bersama, karena hanya ada 1 buah data yang kita miliki. Untuk memastikan tanggal inputan kedua berbeda dengan tanggal data pertama, hanya ada 364 kemungkinan dari 365 kemungkinan yang dimiliki oleh data kedua tersebut (karena 1 tanggal sudah dipakai oleh data pertama). Demikian seterusnya sampai data ke-k dimasukkan, hanya ada 365-k+1 kemungkinan dari 365 kemungkinan yang ada. Dengan demikian, peluang kejadian yang kita harapkan adalah perkalian dari peluang kejadian tidak adanya ulang tahun bersama yang sudah kita uraikan selangkah demi selangkah, yaitu

\dfrac{365}{365}.\dfrac{364}{365}.\dfrac{363}{365}\dots\dfrac{365-k+1}{365}

Perkalian bilangan-bilangan ini dapat dengan mudah kita hitung menggunakan aplikasi spreadsheet. Ingat bahwa nilai yang kita hitung adalah kejadian komplemennya. Dengan demikian, peluang adanya ulang tahun bersama adalah 1 dikurang nilai peluang komplemen tersebut. Berikut merupakan screenshot perhitungan dalam spreadsheet.

25      58

Mengejutkan! Tanpa perlu menampung data yang terlalu banyak, kita hampir selalu dapat menemukan orang-orang yang berulangtahun di hari yang sama!

Jika kita melihat lebih dalam, fenomena ini dapat diperumum ke dalam konteks yang lebih luas. Seandainya terdapat n buah kemungkinan tanggal (pada kenyataannya memang hanya ada 365 tanggal, tapi kita akan sedikit bermain-main untuk melihat hal menarik lainnya). Maka pertanyaan yang menarik adalah seberapa sedikit data yang perlu kita kumpulkan untuk memastikan bahwa ada data yang memiliki ulang tahun bersama dengan peluang yang cukup besar?

Pertama, kita akan sedikit memperjelas definisi matematis pertanyaan ini. Seberapa “besar” kah peluang yang “cukup besar” yang ingin kita capai? Pertanyaan ini akan kita jawab secara asimtotik, yaitu bagaimana nilai peluang ini berperilaku ketika nilai n sangat besar. Secara matematis, kita akan mencari nilai limit peluang tersebut ketika n\rightarrow \infty. Mengapa membicarakan suatu nilai yang sangat besar menjadi menarik? Karena jika nilai n berhingga, yaitu suatu konstanta saja, kita dapat melakukan komputasi dengan cukup mudah melalui bantuan komputer. Dan, ketika kita dapat memahami apa yang terjadi di suatu nilai yang sangat besar, kita dapat memahami apa yang terjadi di nilai yang lebih kecil dengan lebih mudah. Dengan demikian, kita definisikan suatu kejadian dikatakan terjadi “dengan peluang cukup besar” jika limit peluang kejadian tersebut mendekati 1 ketika n\rightarrow \infty.

Dengan demikian, pertanyaan di atas dapat diformulasikan sebagai berikut: Carilah suatu fungsi k(n) terkecil (secara asimtotik), sehingga ketika kita mengumpulkan k(n) data tanggal lahir, ada setidaknya 2 data yang memiliki ulang tahun yang sama dengan peluang cukup besar. Dengan cara yang sama, kita akan mencoba untuk menghitung peluang kejadian komplemennya. Dengan kata lain, kita mencari k(n) terkecil sehingga peluang tidak adanya ulang tahun bersama di antara k(n) data menuju 0. Katakanlah p_k merupakan nilai peluang tersebut. Maka

p_k=\dfrac{n}{n}.\dfrac{n-1}{n}\dots\dfrac{n-k+1}{n}=\left(1-\dfrac{0}{n}\right) . \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\dots \left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)=\prod\limits_{i=0}^{k-1} \left(1-\dfrac{i}{n}\right)

Kita akan mengaproksimasi nilai ini melalui ketidaksamaan (1-x)\le e^{-x}, yang berlaku untuk semua bilangan real x (dapat dibuktikan dengan kalkulus sederhana). Dengan demikian, kita dapatkan

p_k \le \prod\limits_{i=0}^{k-1} e^{-i/n} = \exp\left(-\sum\limits_{i=0}^{k-1} \frac{i}{n}\right) = \exp\left(-\dfrac{O(k^2)}{n}\right)

di mana kesamaan terakhir diperoleh dari rumus deret aritmatika. Dengan demikian, jika kita memilih k(n) sehingga k^2/n merupakan barisan yang menuju tak berhingga saat n\rightarrow \infty, kita akan mendapati p_k \rightarrow 0. Dengan demikian, fungsi apapun yang “lebih besar” dari \sqrt{n} akan membuat p_k \rightarrow 0. Secara matematis, kita dapat menulisnya sebagai berikut, k(n)=\sqrt{\omega n} untuk sembarang \omega=\omega(n), barisan yang divergen selambat apapun itu (arbitrarily slowly). Jadi, ketika k(n)= \sqrt{\omega n}, kita akan menemukan ulang tahun bersama “dengan peluang cukup besar”.

Di sisi lain, ketika kita memiliki k(n)=\Theta(\sqrt{n}), kita akan dapati bahwa p_k=e^{O(1)}, artinya p_k konvergen ke suatu nilai peluang yang positif. Artinya ketika \Theta(\sqrt{n}), kita tidak akan menemukan ulang tahun bersama “dengan peluang cukup besar”. Dengan demikian, simpulan atas penyelidikan kita adalah: \Theta(\sqrt{n}) ada fungsi terbesar sehingga kita tidak akan menemukan ulang tahun bersama “dengan peluang cukup besar” dengan k(n) buah data.

Sebagai contoh, jika kita ambil k(n)=\sqrt{n\log n}, maka p_k\le O(1/n). Ini berarti bahwa ketika kita memiliki \sqrt{n\log n} data, peluang kita tidak mendapati ulangtahun bersama hanya kira-kira sebesar 1/n, suatu nilai yang sangat kecil, bahkan semakin kecil ketika n membesar. Dari n kemungkinan, hanya diperlukan \sqrt{n\log n} data saja untuk mendapatkan ulang tahun bersama “dengan peluang cukup besar”. \sqrt{n\log n} adalah suatu nilai yang sangat kecil dibanding n. Sebagai perbandingan, jika n=10000, maka \sqrt{n\log n} \approx 303,48, suatu nilai yang secara signifikan jauh lebih kecil! Secara sekilas tidak terlihat masuk akal, namun perhitungan matematis membuktikannya!

Jadi, apakah memiliki ulang tahun bersama adalah suatu hal yang jarang? Tentu ya jika Anda membandingkan dengan ulang tahun Anda secara spesifik. Tapi ketika Anda mengumpulkan sedikit data namun dengan cepat menemukan sekelompok orang yang memiliki tanggal ulang tahun yang sama, itu bukan suatu kebetulan. Ada suatu realitas di luar sana yang mengatur bahwa hal semacam ini adalah memang wajar adanya, kendatipun intuisi kita tidak selalu sinkron dengannya. Ada suatu paradox yang mengejutkan, yang tersembunyi secara anggun di balik kesederhanaan yang universal.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s