Tepok Nyamuk (1) – How much would you suffer from the loss?

Matematika dalam bermain. Bermain dalam matematika.

Salah satu permainan kartu yang cukup populer di Indonesia adalah “Tepok Nyamuk”. Dalam permainan ini, setiap peserta dibagikan sejumlah kartu secara berimbang dalam keadaan tertutup. Setelah itu, salah seorang pemain akan membuka kartu teratas miliknya sambil berteriak “dua”, sementara pemain berikutnya melakukan hal yang sama dan meneriakkan “tiga”, dan seterusnya. Urutan angka yang diucapkan pemain dilakukan secara sirkuler sesuai urutan kartu remi, artinya setelah angka 10, pemain berikutnya akan mengucapkan “Jack”, “Queen”, “King”, “As” dan kemudian kembali lagi ke “dua”. Proses ini akan berhenti ketika nilai kartu yang dikeluarkan seorang pemain sama persis dengan nilai yang disebutkannya itu. Pada saat itu, setiap pemain harus secepat mungkin menepuk kartu tersebut dan pemain terakhir yang menepuk kalah dalam ronde itu, sehingga ia harus mengambil semua kartu yang sudah dikeluarkan sebelumnya untuk masuk ke dalam kartu di tangannya. Pemain pertama yang berhasil menghabiskan kartu di tangannya menjadi pemenang permainan ini.

Tentu permainan ini sangat menarik dan menantang, karena kita harus memusatkan konsentrasi dan kewaspadaan kita ketika kartu-kartu dikeluarkan. Jika kita terlalu lambat untuk menyadari kecocokan urutan yang disebut dan kartu yang dikeluarkan, maka bersiap-siaplah untuk menanggung beban kartu yang bisa jadi tambahan kartu tangan kita!

Namun demikian, di tengah keceriaan dan keseruan permainan ini, kita dapat membuat suatu pertanyaan strategis yang dapat membantu kita memahami inti permainan ini. Ketika kecocokan terjadi dan semua pemain menepuk kartu, kita mempunyai peluang untuk menjadi pemain yang kalah dalam tepukan itu. Jika kita kalah, maka banyak kartu di tangan akan bertambah. Jika tidak, maka tentu banyak kartu tangan kita akan lebih sedikit dari sebelum ronde dimulai (karena diambil si kalah). Nah, seandainya kita kalah dalam suatu ronde, kira-kira berapa perkiraan kartu yang akan kita terima? Tentu saja jawabannya bervariasi! Mungkin saja dalam sekali putaran, sudah terjadi kecocokan, sehingga kartu yang dikeluarkan hanya sedikit. Tapi mungkin juga kecocokan tidak juga terjadi walaupun kita sudah mengeluarkan semua kartu yang kita punya! Tentu saja ini adalah kejadian yang stokastik, namun kita akan berusaha menyelidiki berapa rata-rata kartu yang harus dikeluarkan dalam satu ronde sampai sebuah kecocokan terjadi. Let’s introduce the math!

[prerequisite untuk pemahaman penuh tentang model matematika di bawah hanyalah statistika dasar]

Untuk memperoleh hasil, kita dapat mendekati masalah ini dengan model yang lebih sederhana. Katakanlah kita ubah aturan permainan sehingga setiap pemain tidak memegang kartu di tangan, dan yang ada hanya sebuah deck kartu lengkap dalam keadaan tertutup. Dalam setiap giliran, pemain memilih satu kartu secara acak dan membukanya sambil menyebut sebuah nilai secara terurut. Ketika tidak terjadi kecocokan, maka pemain akan mengembalikan kartu tersebut ke dalam deck secara acak pula. Tentu ini metode bermain yang sangat tidak praktis dan tidak menyenangkan, namun dengan model ini, kita akan memperoleh suatu model matematika yang sangat indah! Tentu saja dengan metode ini, peluang seseorang menyebutkan urutan dan mengeluarkan kartu dengan cocok adalah 1 banding 13, karena terdapat 52 kartu dalam sebuah deck lengkap dan terdapat tepat empat kartu yang nilainya cocok dengan (berapapun) nilai yang disebutkan oleh sang pemain. Fakta inilah yang akan menjadi dasar perhitungan kita!

Sekarang, kita definisikan suatu peubah acak X, yang menyatakan banyak kartu yang perlu dikeluarkan sampai terjadi kecocokan. Seandainya X bernilai k, maka ini berarti bahwa k-1 kartu pertama yang dikeluarkan tidak sesuai dengan nilai urutan yang disebut para pemain, dan kartu ke-k harus menjadi kartu pertama yang nilainya cocok. Seperti yang telah kita bahas di atas, peluang sebuah kartu dikeluarkan dengan cocok adalah 1/13, maka peluang sebuah kartu dikeluarkan tidak cocok adalah 1-1/13=12/13. Dengan demikian, peluang kejadian X=k terjadi adalah sebesar \dfrac{12^{k-1}}{13^k}. Dengan demikian, kita peroleh X merupakan sebuah peubah acak berdistribusi geometrik dengan parameter p=\frac{1}{13} (referensi:http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution). Dan dengan mudah, kita dapat klaim bahwa rata-rata nilai X adalah sebesar \frac{1}{p}=13. (Prove this! It’s fun! Petunjuk: gunakan fungsi pembangkit peluang).

Dengan demikian, kita telah peroleh jawabannya! Ketika kita kalah dalam suatu ronde, maka rata-rata kartu yang akan kita terima adalah sebesar 13 kartu! Jumlah yang cukup banyak ya ternyata! Tentu saja dalam kenyataanya, nilai rata-rata yang akan kita peroleh mungkin sedikit berbeda karena model matematika yang kita pakai berbeda dengan kenyataannya, sehingga nilai inipun juga merupakan estimasi dari rata-rata yang sebenarnya. Namun demikian, saya cukup yakin bahwa nilai rata-rata ini cukup baik untuk memberika gambaran pada permainan yang sebenarnya. Well, sejujurnya saya belum pernah melakukan “test lab” dengan mencatat semua data kartu yang diterima si kalah dan merata-rata nilai tersebut. Jika ada seseorang yang bersedia melakukan itu dan memberitahu hasilnya ke saya untuk mencocokkan apakah benar hasil yang diperoleh memang betul dekat dengan 13, that would be great!

Pertanyaan berikutnya yang mungkin relevan, adalah berapa banyak ronde yang kita perlukan untuk menyelesaikan permainan ini? Seandainya ada 4 pemain, maka masing-masing pemain menerima 13 kartu tangan di awal. Karena dalam 1 ronde, si kalah harus menerima tambahan rata-rata sebanyak 13 kartu, maka kartu tangan pemain lain akan berkurang sekitar \frac{13}{4} kartu, atau sekitar 3 kartu. Dalam kasus terbaik, ketika ada seorang yang tidak pernah kalah sama sekali sepanjang permainan, dia akan menyelesaikan permainan itu dalam 4-5 ronde. Namun apakah nilai ini adalah nilai rata-rata banyak ronde yang diperlukan? Tentu saja tidak! Bagaimana kita menghitung nilai rata-rata ini secara rigorous? Tunggu postingan saya selanjutnya. 🙂

[Silakan coba-coba dulu kalo penasaran. Hint: Markov Chain]

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s