Nothing Contains Everything: My Tiny Thought about Russel’s Paradox

Indonesian. 😀

Posting ini akan membahas suatu fakta matematis, yang pertama kali diperkenalkan oleh salah satu Bapak “Modern Set Theory”, Bertrand Russel. Bagi saya, fakta ini sangat mencengangkan; bahkan di luar akal sehat saya. Sangat menarik, dan membuat saya berpikir bahwa memang tidak pernah ada science yang pernah cukup rigorous dan detail untuk menjelaskan bagaimana alam bekerja. Memang perkembangan science dunia selalu berkembang, namun tingkat perkembangannya tidak pernah mencapai kesempurnaan, seperti grafik asimpotik; kita sudah sangat dekat dengan kesempurnaan, namun tidak pernah mencapainya. Bukan stagnan, tapi converge. Pembahasan ini saya ambilkan dari sebuah buku yang sangat baik, “Naive Set Theory”, karangan Paul R. Halmos; salah satu matematikawan yang paling berpengaruh di abad 20. A very recommended book. Yah, siapalah saya, saya hanya ingin membagikan what do I feel about this paradox. Hopefully, you may enjoy every single words of my writing. 🙂

Well, secara sekilas, fakta ini mengatakan bahwa tidak ada himpunan yang memuat semua himpunan; tidak dengan pengertian himpunan yang kita kenal dalam matematika sehari-hari. Karena jika seandainya ada, maka himpunan ini akan menemui kontradiksi dengan definisinya sendiri. How can it be? Baiklah, pertama-tama, I’ll present you one of the major principle of set theory. Prinsip ini terkenal dengan nama Aussonderungaxiom, atau dalam bahasa Indonesia, Aksioma spesifikasi. Prinsip ini berbunyi demikian:

Untuk sembarang himpunan A dan kondisi S(x) selalu terdapat sebuah himpunan B sedemikian sehingga setiap anggotanya merupakan anggota A dan memenuhi kondisi S(x).

Ah, aksioma yang terlalu trivial! Yah, saya yakin kita semua akan dengan cepat setuju dengan peryataan di atas. Ya memang begitu kan? Yes, That’s why we called it major principle. Penerapan aksioma di atas sesederhana penggunaan konsep himpunan dalam matematika sehari-hari. Bahkan anak-anak SD pun menggunakan aksioma ini tanpa halangan yang berarti. Sangat sederhana! Misalkan A merupakan himpunan semua wanita di dunia, dan S(x) adalah kondisi di mana x merupakan mahasiwa matematika. Berdasarkan dua hal di atas, kita dapat “memilah-milah” anggota himpunan A yang juga memiliki kondisi S(x), dan selanjutnya jika kita himpun semuanya, kita akan dapatkan himpunan B=\{ x\in A:S(x)\} =\{ x\in A:x mahasiswa matematika \} yang memenuhi sifat seperti yang dikemukanan pada aksioma di atas. Dengan demikian B merupakan himpunan semua mahasiswa matematika wanita.

Mudah! Namun mari kita lihat, jika kita pilih kondisinya S(x) sebagai berikut: “x\notin x“. Sebelum kita lanjut, ada baiknya supaya kita dapat membedakan notasi “\in” dengan “\subset“. Notasi yang pertama menunjukkan notasi keanggotaan, sementara yang terakhir merujuk pada keterhimpunan. (Detail mengenai 2 relasi ini dapat dicari di Google :p). Oke, lalu ambillah sembarang himpunan A. Berdasar aksioma di atas, kita dapat definisikan himpunan B=\{ x\in A:x\notin x\}. Well, per definisi kita tahu bahwa B\subseteq A. Tapi, pertanyaan yang mungkin menarik adalah, dapatkah kita menyimpulkan bahwa B\in A? Jawabannya adalah TIDAK. Pernyataan tersebut adalah SALAH.

Mengapa demikian? Andaikan pernyataan tersebut benar, yaitu B\in A. Maka dengan mempertimbangkan B sebagai subhimpunan A, kita memiliki dua pilihan, yaitu B\in B atau B\notin B. Oke kita bahas satu-satu. Pilihan pertama tidaklah mungkin. Karena jika B\in B, maka berdasar definisi B=\{ x\in A:x\notin x\}, haruslah B\notin B dan ini kontradiksi. Selanjutnya kita tinjau pilihan kedua. Jika B\notin B benar, maka per definisi B=\{ x\in A:x\notin x\}, B memenuhi syarat keanggotaan B sendiri, dan dengan demikian B\in B. Kontradiksi lagi. Karena itu kesimpulannya, haruslah B\notin A. (Paragraf ini mungkin paragraf yang paling sulit dipahami; saya sarankan Anda membaca paragraf ini berulang kali sebelum akhirnya Anda melanjutkan ke paragraf berikutnya)

Oke, perhatikan bahwa proses tersebut terjadi untuk sembarang himpunan. Jadi dengan demikian, untuk setiap himpunan, subhimpunannya yang dispesifikasi dengan kondisi S(x) tidak akan pernah menjadi anggota himpunan tersebut. Ini menunjukan bahwa untuk setiap himpunan A terdapat suatu himpunan B sehingga B\notin A. Dan dengan demikian, kita membuktikan bahwa tidak ada himpunan yang memuat semua himpunan. Bahkan kita dapat katakan bahwa tidak ada himpunan yang semua subhimpunannya merupakan anggota dari himpunan tersebut. (harap dapat dibedakan antara keterhimpunan dan keanggotaan) Dengan gayanya yang dramatis, Halmos mengungkapkan bahwa “Nothing contains Everything” –dengan tambahan dari saya pribadi- “,not in nowadays’ concept of set”.

Tidak masuk akal! Tidak ada himpunan yang memuat semua himpunan! Ini bertentangan dengan konsep himpunan yang selama ini saya pahami. Jika kita ingin membuat himpunan yang memuat semua himpunan, yah tinggal kumpulkan saja semua jenis himpunan yang ada di semesta ini. Kumpulan yang tadi sudah kita kumpulkan tentunya menjadi himpunan yang memuat semua himpunan. Namun himpunan yang memuat semua himpunan itu juga merupakan himpunan, apakah himpunan tersebut juga sudah termuat di dalamnya? Oh tidak! Proses ini berlangsung terus sampai kita bisa dibuatnya gila!

Jadi apa itu kumpulan semua himpunan? Tidak ada yang tahu. Saya percaya konsep itu ada, dan bukannya kontradiksi dengan pemikiran kita. Itulah sebabnya, fakta ini dinamakan Russel’s paradox; bukan Russel’s contradiction. Lalu bagaimana menjelaskan fenomena itu? Tidak ada yang tahu. Ini sama misteriusnya dengan pertanyaan “Dari mana asal manusia?”. Tidak untuk masa sekarang. Belum cukup instrumen yang dimiliki masyarakat sains untuk dapat mendefinisikan dengan rigorous fenomena ini. Haruslah ada definisi mengenai himpunan yang lebih besar, lebih kuat, lebih divine; untuk membantu umat manusia mendalami peristiwa ini. Yang seperti apakah itu? Itu adalah pertanyaan kita semua, umat manusia.

 

Jadi apakah itu himpunan? Jawaban yang mungkin paling memuaskan, adalah “Himpunan tidak didefinisikan”.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s